Relación entre las medias: cuadrática ≥ aritmética ≥ geométrica ≥ armónica.
La cadena QM-AM-GM-HM es una secuencia fundamental de desigualdades en álgebra que establece un orden entre las cuatro medias pitagóricas clásicas: la Media Cuadrática (QM), la Media Aritmética (AM), la Media Geométrica (GM) y la Media Armónica (HM). Para cualquier conjunto de números reales positivos, las medias siempre están ordenadas de tal manera que la media cuadrática es la más grande y la media armónica es la más pequeña. Específicamente, $QM \ge AM \ge GM \ge HM$. La igualdad se cumple en todas las partes de la cadena si y solo si todos los números del conjunto son iguales.
Esta cadena es una pieza clave para resolver problemas de desigualdades en las olimpiadas. Aunque la desigualdad AM-GM es la parte que más vas a usar, la cadena completa te da herramientas muy potentes para acotar expresiones que involucran sumas de cuadrados (QM) o sumas de recíprocos (HM). La relación QM-AM es súper útil para maximizar una suma cuando la suma de los cuadrados es fija, o para minimizar la suma de los cuadrados cuando la suma es fija. La relación GM-HM se usa seguido para relacionar productos con sumas de recíprocos.
De forma intuitiva, el orden refleja cómo las diferentes medias le dan peso a los números de un conjunto. La Media Cuadrática (que también la conocemos como la raíz de la media cuadrática) les da más peso a los números más grandes porque elevas los valores al cuadrado antes de promediarlos. La Media Armónica les da más peso a los números más pequeños porque promedia los recíprocos (donde los números chiquitos se vuelven grandes). Las medias aritmética y geométrica están en medio, y representan el promedio estándar y la tendencia central de las tasas de crecimiento, respectivamente.
Toma $x_1, x_2, \dots, x_n$ como números reales positivos. Aquí tienes las definiciones de las medias:
Media Cuadrática (QM): $$QM = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}}$$
Media Aritmética (AM): $$AM = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$
Media Geométrica (GM): $$GM = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$$
Media Armónica (HM): $$HM = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$$
La Desigualdad de la Cadena: $$ \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}} \ge \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \ge \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \ge \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} $$
Condición de Igualdad: La igualdad se cumple para cualquier par adyacente (y por lo tanto para toda la cadena) si y solo si $x_1 = x_2 = \dots = x_n$.
Para demostrar la cadena, la idea es probar las desigualdades por pares: $QM \ge AM$, $AM \ge GM$ y $GM \ge HM$.
Parte 1: QM $\ge$ AM Usa la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que dice que para secuencias reales $a_i$ y $b_i$, $(\sum a_i b_i)^2 \le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$. Si tomas $a_i = 1$ y $b_i = x_i$ para todo $i=1, \dots, n$: $$ \left(\sum_{i=1}^n 1 \cdot x_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n 1^2\right) \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) $$ $$ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2 \le n \sum_{i=1}^n x_i^2 $$ Divide ambos lados entre $n^2$: $$ \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2 \le la \frac{\sum x_i^2}{n} $$ Saca la raíz cuadrada en ambos lados (como $x_i > 0$): $$ \frac{\sum x_i}{n} \le \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}} \implies AM \le QM $$
Parte 2: AM $\ge$ GM Esta es la desigualdad AM-GM estándar. Una forma común de demostrarla es usando la desigualdad de Jensen aplicada a la función cóncava $f(x) = \ln(x)$. $$ \ln\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \ge \frac{\sum \ln(x_i)}{n} $$ $$ \ln(AM) \ge \frac{1}{n} \ln\left(\prod x_i\right) = \ln\left((\prod x_i)^{\frac{1}{n}}\right) $$ Aplica la función exponencial en ambos lados (como $e^x$ es creciente): $$ AM \ge \sqrt[n]{\prod x_i} = GM $$
Parte 3: GM $\ge$ HM Aplica la desigualdad AM-GM a los recíprocos $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$. $$ \frac{\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1} \dots \frac{1}{x_n}} $$ $$ \frac{\sum \frac{1}{x_i}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{\prod x_i}} = \frac{1}{\sqrt[n]{\prod x_i}} $$ Al tomar el recíproco en ambos lados, el sentido de la desigualdad se voltea (porque todos los términos son positivos): $$ \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod x_i} $$ $$ HM \le GM $$
Conclusión Al combinar las tres partes, obtienes la cadena completa: $$ QM \ge AM \ge GM \ge HM $$ $\square$