Soluciones f(x) = x^c o f(x) = |x|^c.
La ecuación funcional multiplicativa en todos los números reales es $f(xy) = f(x)f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. Aunque parece idéntica a la versión restringida a los reales positivos, extender el dominio a $\mathbb{R}$ mete bastante complejidad por el signo de lo que le metas a la función. Cuando resuelves para $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, tienes que manejar el comportamiento de $f$ en el cero y en los números negativos por separado del caso positivo.
Este concepto es fundamental en las olimpiadas de matemáticas porque sirve como base para ecuaciones funcionales más complejas. La solución se basa en reducir el problema a los reales positivos (donde los logaritmos pueden transformar la ecuación en la Ecuación Aditiva de Cauchy) y luego determinar la "paridad" de la función. En específico, el valor de $f(-1)$ es el que decide si la función es par o impar.
Si supones que $f$ es continua (o monótona/acotada en un intervalo), las soluciones son funciones potencia bien portadas. Pero, a diferencia del caso positivo donde $f(x) = x^c$ es la única familia, el caso de todos los reales se divide en dos familias no triviales distintas según su simetría: $f(x) = |x|^c$ y $f(x) = \text{sgn}(x)|x