Técnicas de Sustitución

Teoría

La sustitución es el motor fundamental para resolver ecuaciones funcionales. Consiste en reemplazar las variables libres en una ecuación dada (normalmente $x, y, z$) por valores específicos, expresiones u otras variables para extraer restricciones sobre la función $f$. Como una ecuación funcional $f(x+y) = f(x) + f(y)$ es una identidad que debe cumplirse para toda $x, y$ en el dominio, tienes la libertad de elegir casos específicos —como poner $x=0$ o $y=f(x)$— para simplificar la expresión o encontrar contradicciones.

El objetivo principal de la sustitución es reducir la complejidad de la ecuación hasta un punto donde la estructura de la función se vuelva evidente. Al principio de un problema, usas sustituciones como $x=0$ o $x=1$ para encontrar valores fijos (por ejemplo, $f(0)=0$). Conforme avanzas en la solución, empleas sustituciones más avanzadas para demostrar propiedades como inyectividad ($f(a)=f(b) \implies a=b$), suprayectividad o paridad (si es par o impar). En problemas avanzados de Olimpiada, las sustituciones "que anulan" son críticas; estas son elecciones diseñadas para que términos complejos se vuelvan cero o se cancelen, aislando a $f(x)$.

Una notación estándar que se usa en matemáticas de competencia para indicar una sustitución es $P(u, v)$. Esto representa la afirmación que obtienes al sustituir $x \to u$ y $y \to v$ en la ecuación original. Por ejemplo, si la ecuación dada es $f(x+y) = f(x) + f(y)$, entonces $P(0, 0)$ implica $f(0) = f(0) + f(0)$, lo que te da $f(0)=0$. Este enfoque sistemático ayuda a organizar la información que sacas de la función y revela el camino hacia la solución general.

Fórmulas Clave

Aunque la sustitución es más una heurística que una sola fórmula, existen patrones e implicaciones estándar que se usan para derivar propiedades de la función.

Sustituciones Estratégicas Comunes:

• Cero/Identidad: $x=0$, $y=0$, $x=1$ o $y=1$ para encontrar constantes.
• Reflexiva/Simétrica: $y=x$ o intercambiar $x \leftrightarrow y$ para aprovechar la simetría.
• Cancelación: $y = -x$ o $y = 1/x$ para reducir los argumentos a constantes (como $f(0)$ o $f(1)$).
• Basadas en la función: $y = f(x)$ o $x = f(y)$ para anidar funciones o usar la suprayectividad.

Derivaciones de Propiedades Estándar:

• Paridad (par): $f(-x) = f(x)$
• Imparidad (impar): $f(-x) = -f(x)$
• Inyectividad: $$f(x) = f(y) \implies x = y$$
• Suprayectividad: Para cada $y$ en el codominio, existe una $x$ tal que $f(x) = y$. A menudo se demuestra viendo que el rango de $f$ cubre a $\mathbb{R}$ (por ejemplo, al obtener $f(g(x)) = x + c$).

Formas Objetivo (Ecuaciones de Cauchy): Muchas sustituciones buscan reducir el problema a una de las cuatro Ecuaciones Funcionales de Cauchy:

1. Aditiva: $$f(x+y) = f(x) + f(y) \implies f(x) = cx$$ (sobre $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ continua)
2. Multiplicativa: $$f(xy) = f(x)f(y) \implies f(x) = x^c$$ (para $x>0$)
3. Exponencial: $$f(x+y) = f(x)f(y) \implies f(x) = a^x$$
4. Logarítmica: $$f(xy) = f(x) + f(y) \implies f(x) = c \ln|x|$$

Demostración

Teorema: Derivación de la solución a la Ecuación Aditiva de Cauchy $f(x+y) = f(x) + f(y)$ para $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ usando técnicas de sustitución.

Demostración: Sea $P(x, y)$ la afirmación $f(x+y) = f(x) + f(y)$.

Paso 1: Encuentra el valor en cero. Haz la sustitución $P(0, 0)$: $$f(0+0) = f(0) + f(0)$$ $$f(0) = 2f(0) \implies f(0) = 0$$

Paso 2: Demuestra que $f$ es una función impar. Haz la sustitución $P(x, -x)$: $$f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)$$ $$f(0) = f(x) + f(-x)$$ Como $f(0) = 0$, tienes $0 = f(x) + f(-x)$, lo que implica: $$f(-x) = -f(x)$$

Paso 3: Demuestra la homogeneidad para los números naturales. Lo que se afirma es que $f(nx) = n f(x)$ para toda $n \in \mathbb{N}$. Sigue por inducción. Caso base $n=1$: $f(1\cdot x) = 1\cdot f(x)$, lo cual es trivial. Supón que $f(kx) = k f(x)$ se cumple para alguna $k \in \mathbb{N}$. Haz la sustitución $P(kx, x)$: $$f((k+1)x) = f(kx + x) = f(kx) + f(x)$$ Usando la hipótesis inductiva: $$f((k+1)x) = k f(x) + f(x) = (k+1)f(x)$$ Así, $f(nx) = n f(x)$ para toda $n \in \mathbb{N}$.

Paso 4: Extiende a los enteros. Para los enteros negativos, sea $n \in \mathbb{N}$. Usando la propiedad de función impar del Paso 2: $$f(-nx) = -f(nx) = -(n f(x)) = (-n)f(x)$$ Así, $f(zx) = z f(x)$ para toda $z \in \mathbb{Z}$.

Paso 5: Extiende a los racionales. Sea $x \in \mathbb{Q}$. Entonces $x = \frac{p}{q}$ donde $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$. Considera $f(q \cdot \frac{p}{q})$. Por la propiedad de los enteros que obtuviste en el Paso 4 (tratando a $\frac{p}{q}$ como la variable): $$f\left(q \cdot \frac{p}{q}\right) = q f\left(\frac{p}{q}\right)$$ Sin embargo, $q \cdot \frac{p}{q} = p$. Así que: $$f(p) = q f\left(\frac{p}{q}\right)$$ Usando la propiedad de los enteros en el lado izquierdo ($f(p) = p f(1)$): $$p f(1) = q f\left(\frac{p}{q}\right)$$ Dividiendo entre $q$: $$f\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{p}{q} f(1)$$ Sea $c = f(1)$. Entonces para toda $x \in \mathbb{Q}$, $f(x) = cx$.

$\square$