El caso general para n números no negativos, muy útil con agrupaciones estratégicas.
La Desigualdad de las Medias Aritmética y Geométrica (AM-GM) es una de las herramientas más fundamentales y que más vas a usar en el álgebra de competencia. Dice que para cualquier conjunto de $n$ números reales no negativos, la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica. Esta desigualdad te da un vínculo poderoso entre sumas y productos, lo que te permite poner límites a expresiones algebraicas. Te va a servir mucho en problemas de optimización donde busques minimizar una suma cuando tienes un producto fijo, o maximizar un producto cuando tienes una suma fija.
La intuición detrás de AM-GM está en el concepto de "suavizado" (smoothing). Si tienes una suma fija, el producto de un conjunto de números es máximo cuando los números están lo más cerca posible entre sí. Al revés, si tienes un producto fijo, la suma es mínima cuando los números son iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene el área más grande de todos los rectángulos que tienen un perímetro fijo. En las olimpiadas, vas a aplicar el caso de $n$ variables muy seguido de forma creativa usando "agrupaciones estratégicas", donde separas o pesas términos (por ejemplo, tratando $x^2$ como $\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2}$) para que las variables se cancelen en el producto o para que coincidan con condiciones de igualdad específicas.
Algo muy importante: la desigualdad solo funciona para números reales no negativos. La condición de igualdad