Ecuaciones Cuadráticas

Teoría

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial de grado 2 que tiene la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ donde $a \neq 0$. Las ecuaciones cuadráticas aparecen en todas las áreas de las matemáticas y tienen una teoría de soluciones completa que viene desde la antigua matemática babilónica.

Puedes resolver cualquier ecuación cuadrática usando tres métodos principales:

1. Factorización: Cuando puedes factorizar la cuadrática fácilmente con números enteros.
2. Completar el cuadrado: Este método siempre funciona y es el que te lleva a la fórmula general.
3. Fórmula general (o cuadrática): El método universal para encontrar las soluciones.

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina qué tipo de raíces vas a tener:

• $\Delta > 0$: Dos raíces reales distintas.
• $\Delta = 0$: Una raíz real repetida.
• $\Delta < 0$: Dos raíces complejas conjugadas.

Fórmulas Clave

Fórmula General: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac$$

Fórmulas de Vieta: Para las raíces $r$ y $s$: $$r + s = -\frac{b}{a}, \quad rs = \frac{c}{a}$$

Forma de Vértice: $$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$$

El vértice está en $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$.

Forma Factorizada: $$ax^2 + bx + c = a(x - r)(x - s)$$

donde $r, s$ son las raíces.

Suma y Producto de las Raíces: $$r + s = -\frac{b}{a}, \quad rs = \frac{c}{a}$$

Demostración

Deducción de la Fórmula General (completando el cuadrado):

Empieza con $ax^2 + bx + c = 0$ donde $a \neq 0$:

Paso 1: Divide entre $a$: $$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$

Paso 2: Pasa el término constante al otro lado: $$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

Paso 3: Completa el cuadrado. Suma $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ en ambos lados: $$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$$

Paso 4: Factoriza el lado izquierdo: $$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$

Paso 5: Saca raíz cuadrada: $$x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Paso 6: Despeja $x$: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $\square$

Demostración de las Fórmulas de Vieta:

Si $r$ y $s$ son las raíces de $ax^2 + bx + c = 0$, entonces: $$ax^2 + bx + c = a(x - r)(x - s)$$

Si expandes el lado derecho: $$a(x - r)(x - s) = a(x^2 - (r+s)x + rs) = ax^2 - a(r+s)x + ars$$

Al comparar los coeficientes nota que:

• Coeficiente de $x$: $b = -a(r + s)$, así que $r + s = -\frac{b}{a}$
• Término constante: $c = ars$, así que $rs = \frac{c}{a}$ $\square$