Cómo sumar infinitos términos: Suma = a/(1-r) cuando |r| < 1.
Una serie geométrica infinita es la suma de una sucesión de números donde obtienes cada término multiplicando el anterior por un factor constante, llamado razón común $r$. A diferencia de las series finitas, que siempre tienen una suma definida, una serie geométrica infinita solo da un resultado finito (converge) si los términos se hacen pequeños lo suficientemente rápido. Específicamente, la magnitud de la razón común debe ser estrictamente menor a 1 ($|r| < 1$). Si $|r| \ge 1$, los términos no se acercan a cero y la suma crece sin límite o empieza a oscilar, lo que significa que la serie diverge.
Este concepto es fundamental en las olimpiadas de matemáticas porque conecta el álgebra discreta con los límites (cálculo). Te da las herramientas para resolver problemas de decimales periódicos, figuras geométricas autosimilares (fractales) y situaciones físicas como pelotas que rebotan. La intuición detrás de la fórmula se basa en la idea de que, conforme sumas términos cada vez más pequeños, la suma total se acerca a un "techo" o límite específico, en lugar de crecer infinitamente. Por ejemplo, si caminas la mitad de la distancia que te queda hacia una pared una y otra vez ($1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots$), al final terminas llegando a la pared (una suma de 1).
En competencias como el AMC y el AIME, las series geométricas infinitas suelen aparecer disfrazadas en problemas de geometría —como calcular el área total de una secuencia infinita de cuadrados o círculos anidados— o en problemas de teoría de números que piden convertir decimales periódicos a fracciones. Para dominar este tema no solo necesitas memorizar la fórmula de la suma, sino también aprender a reconocer la estructura geométrica en problemas de razonamiento complejos y verificar siempre la condición de convergencia antes de aplicar la fórmula.
La Suma de una Serie Geométrica Infinita Para una serie geométrica con primer término $a$ y razón común $r$, la suma $S$ es: $$ S = \frac{a}{1-r} $$ Condición de Convergencia: Esta fórmula es válida si y solo si: $$ |r| < 1 \quad (\text{o lo que es lo mismo, } -1 < r < 1) $$
Fórmula de la Suma Parcial Aunque la suma infinita es el límite, la suma de los primeros $n$ términos suele ser útil para demostraciones o problemas con límites específicos: $$ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} $$
Decimales Periódicos Una aplicación común es convertir decimales periódicos a fracciones. Para un bloque periódico de $k$ dígitos $D$: $$ 0.\overline{D} = \frac{D}{10^k - 1} $$ (por ejemplo, $0.\overline{123} = \frac{123}{999}$)
Teorema: Toma un número real $a$ y un número real $r$ tal que $|r| < 1$. La suma de la serie geométrica infinita $a + ar + ar^2 + \dots$ es $\frac{a}{1-r}$.
Demostración: Empieza definiendo la $n$-ésima suma parcial de la serie, que escribimos como $S_n$. Esta es la suma de los primeros $n$ términos: $$ S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-2} + ar^{n-1} $$
Para encontrar una forma cerrada para $S_n$, multiplica toda la ecuación por la razón común $r$: $$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n $$
Luego, resta la ecuación de $rS_n$ a la ecuación de $S_n$. Nota que la mayoría de los términos del lado derecho se cancelan (se telescopian): $$ \begin{aligned} S_n &= a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} \ rS_n &= \phantom{a +} ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} + ar^n \ \hline S_n - rS_n &= a - ar^n \end{aligned} $$
Factoriza $S_n$ en el lado izquierdo: $$ S_n(1-r) = a(1-r^n) $$
Si despejas $S_n$ (asumiendo que $r \neq 1$), obtienes la fórmula para la suma parcial: $$ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} $$
La suma de la serie infinita, $S$, la definimos como el límite de las sumas parciales cuando $n$ tiende a infinito: $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} $$
Puedes separar la fracción: $$ S = \frac{a}{1-r} - \frac{a}{1-r} \cdot \lim_{n \to \infty} (r^n) $$
Como tienes la condición $|r| < 1$, el término $r^n$ se acerca a 0 conforme $n$ se hace más grande (por ejemplo, $(1/2)^n \to 0$). Por lo tanto: $$ \lim_{n \to \infty} r^n = 0 $$
Si sustituyes esto de nuevo en la expresión para $S$: $$ S = \frac{a}{1-r} - \frac{a}{1-r} \cdot 0 $$ $$ S = \frac{a}{1-r} $$
$\square$