Cómo manejar (n+a)^k en el denominador.
Los factores lineales repetidos aparecen cuando haces sumas o telescopía y el denominador de una expresión racional tiene un término de la forma $(n+a)^k$ con $k \ge 2$. Aunque la descomposición en fracciones parciales simple sirve para manejar factores lineales distintos (como $\frac{1}{n(n+1)}$) al separarlos en una resta de términos, los factores repetidos necesitan un enfoque un poco más detallado. La meta sigue siendo la misma: descomponer el sumando en una forma $F(n) - F(n+1)$ o una combinación de restas así para que la serie sea telescópica.
Cuando un denominador tiene un factor repetido $(n+a)^k$, la descomposición estándar dice que puedes escribir la fracción como una suma de términos con denominadores $(n+a), (n+a)^2, \dots, (n+a)^k$. En matemáticas de olimpiada, específicamente en problemas de AIME o AMC 12 avanzado, separar la fracción suele ser el primer paso. Pero, a diferencia de los factores distintos, los términos que resultan no siempre muestran un patrón telescópico obvio de inmediato. A veces tienes que agrupar los términos que salen de la descomposición (por ejemplo, juntar las potencias lineales por un lado y las potencias al cuadrado por otro) para calcular la suma, o darte cuenta de que la descomposición es como una versión discreta de una expansión en serie de Taylor.
El truco clave para manejar estos factores es ver el numerador como un polinomio en términos del factor repetido. Si haces una sustitución o manipulas el álgebra para expresar el numerador $P(n)$ en términos de $(n+a)$, puedes dividir término a término para sacar los coeficientes de las fracciones parciales directamente. Esta técnica es mucho más eficiente que andar resolviendo sistemas de ecuaciones lineales cuando $k$ es grande.
Descomposición General para Factores Repetidos Si $Q(x)$ tiene un factor lineal repetido $(x-r)^k$, la descomposición en fracciones parciales de una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$ incluye una suma de $k$ términos que corresponden a ese factor: $$ \frac{P(x)}{(x-r)^k \cdot G(x)} = \frac{A_1}{x-r} + \frac{A_2}{(x-r)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-r)^k} + \dots $$ donde $G(x)$ representa los demás factores del denominador.
Expansión del Numerador (Enfoque de Polinomio de Taylor) Para encontrar los coeficientes $A_j$ de una expresión racional $\frac{P(x)}{(x-r)^k}$ (donde el denominador solo tiene el factor repetido), expande $P(x)$ en potencias de $(x-r)$: $$ P(x) = c_0 + c_1(x-r) + c_2(x-r)^2 + \dots + c_{k-1}(x-r)^{k-1} $$ Al dividir entre $(x-r)^k$ obtienes: $$ \frac{P(x)}{(x-r)^k} = \frac{c_0}{(x-r)^k} + \frac{c_1}{(x-r)^{k-1}} + \dots + \frac{c_{k-1}}{x-r} $$
Forma de Diferencia Telescópica En problemas de sumas con factores repetidos, casi siempre vas a buscar una descomposición de la forma: $$ \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{(n+a)^k} - \frac{1}{(n+a+1)^k} \right) $$ o cancelaciones de potencias mezcladas.
Teorema: Sea $P(x)$ un polinomio de grado menor que $k$. La función racional $\frac{P(x)}{(x-a)^k}$ se puede expresar de forma única como una suma de fracciones parciales de la forma: $$ \frac{P(x)}{(x-a)^k} = \sum_{j=1}^k \frac{c_j}{(x-a)^j} $$
Demostración:
Paso 1: Sustitución Toma $y = x - a$. Por lo tanto, $x = y + a$. Sustituye esto en la expresión para transformar la función a términos de $y$: $$ \frac{P(x)}{(x-a)^k} = \frac{P(y+a)}{y^k} $$
Paso 2: Expansión del Polinomio Como $P(x)$ es un polinomio, $P(y+a)$ también es un polinomio en $y$. Supón que el grado de $P(x)$ es $m$, donde $m < k$. Puedes escribir $P(y+a)$ en su forma polinomial estándar con coeficientes $b_i$: $$ P(y+a) = b_0 + b_1 y + b_2 y^2 + \dots + b_m y^m $$
Paso 3: División Término a Término Ahora, divide el numerador expandido entre el denominador $y^k$: $$ \frac{P(y+a)}{y^k} = \frac{b_0 + b_1 y + b_2 y^2 + \dots + b_m y^m}{y^k} $$ $$ = \frac{b_0}{y^k} + \frac{b_1}{y^{k-1}} + \frac{b_2}{y^{k-2}} + \dots + \frac{b_m}{y^{k-m}} $$
Paso 4: Sustitución Inversa Vuelve a sustituir $y = x - a$ en la expresión. $$ = \frac{b_0}{(x-a)^k} + \frac{b_1}{(x-a)^{k-1}} + \dots + \frac{b_m}{(x-a)^{k-m}} $$
Paso 5: Conclusión Si cambias el nombre de los coeficientes y los índices, puedes ver que la expresión es una suma de términos de la forma $\frac{C}{(x-a)^j}$ donde $1 \le j \le k$. Específicamente, si pones $c_j = b_{k-j}$, obtienes la forma estándar de las fracciones parciales. Como la expansión polinomial de $P(y+a)$ es única, los coeficientes $c_j$ también lo son.
$$ \therefore \frac{P(x)}{(x-a)^k} = \sum_{j=1}^k \frac{c_j}{(x-a)^j} $$ $\square$