f(x) = cx para x racional.
El concepto de "aditividad en los racionales" se refiere al comportamiento de las funciones que cumplen la Ecuación Funcional de Cauchy, $f(x+y) = f(x) + f(y)$, específicamente cuando el dominio se restringe a los números racionales $\mathbb{Q}$. Aunque la ecuación de Cauchy es una de las ecuaciones funcionales más fundamentales en el álgebra, su solución depende muchísimo del dominio en el que se resuelva. Usando pura manipulación algebraica —sin asumir continuidad, monotonía o que la función esté acotada— puedes demostrar que cualquier función que cumpla la aditividad tiene que ser lineal para todas las entradas racionales. Específicamente, $f(x) = cx$ para todo $x \in \mathbb{Q}$, donde $c = f(1)$.
Este resultado es una pieza clave en las ecuaciones funcionales de las olimpiadas de matemáticas porque sirve como el "caso base" para resolver la ecuación de Cauchy sobre los números reales. En muchos problemas de competencia, primero tienes que demostrar la aditividad y luego extender el resultado $f(q) = cq$ de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$ usando propiedades adicionales que te dé el problema (como la continuidad o la positividad). Entender cómo se llega a esto en los racionales es esencial porque muestra cómo el razonamiento inductivo se extiende de los números naturales a los enteros, y finalmente a las fracciones racionales.
La intuición detrás de este resultado es que la condición de aditividad obliga a la función a preservar la estructura de la aritmética. Si una función preserva la suma, tiene que preservar la suma repetida (multiplicación por un entero). Por consecuencia, también tiene que preservar la división (multiplicación por un recíproco). Esta estructura tan rígida amarra a la función a ser lineal en el subconjunto denso de los números racionales, dejando las soluciones "patológicas" no lineales como una posibilidad solo si la función se porta de forma salvaje en los números irracionales (lo cual requiere el Axioma de Elección para poder construirse).
La Ecuación Funcional de Cauchy: $$f(x+y) = f(x) + f(y)$$
Solución General en los Racionales: Para cualquier función $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ que cumpla la ecuación de Cauchy, la solución es: $$f(x) = cx \quad \forall x \in \mathbb{Q}$$ donde $c = f(1)$ es una constante arbitraria.
Homogeneidad en los Racionales: Una consecuencia directa de la aditividad es que puedes sacar los escalares del argumento de la función si el escalar es racional: $$f(qx) = qf(x) \quad \forall q \in \mathbb{Q}, \forall x \in \text{Dominio}$$
Teorema: Sea $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ una función que cumple $f(x+y) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{Q}$. Entonces $f(x) = cx$ para todo $x \in \mathbb{Q}$, donde $c = f(1)$.
Demostración:
Paso 1: Números Naturales ($\mathbb{N}$) Toma $c = f(1)$. Puedes usar inducción matemática para mostrar que $f(n) = cn$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Caso base: Para $n=1$, $f(1) = c \cdot 1$, lo cual es cierto por definición. Paso inductivo: Supón que $f(k) = ck$ para algún $k \in \mathbb{N}$. Entonces: $$f(k+1) = f(k) + f(1) = ck + c = c(k+1)$$ Así que $f(n) = cn$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
Paso 2: El Cero Si pones $x=0$ y $y=0$ en la ecuación original: $$f(0+0) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 2f(0) \implies f(0) = 0$$ Nota que esto es consistente con $f(0) = c \cdot 0$.
Paso 3: Números Enteros ($\mathbb{Z}$) Toma $n \in \mathbb{N}$. Ahora considera el entero negativo $-n$. $$f(n + (-n)) = f(0) = 0$$ Usando la aditividad: $$f(n) + f(-n) = 0 \implies f(-n) = -f(n)$$ Como $f(n) = cn$, tienes que $f(-n) = -cn = c(-n)$. Por lo tanto, $f(z) = cz$ para todo $z \in \mathbb{Z}$.
Paso 4: Números Racionales ($\mathbb{Q}$) Toma un número racional cualquiera $x$. Lo puedes escribir como $x = \frac{p}{q}$ donde $p \in \mathbb{Z}$ y $q \in \mathbb{N}$. Por la definición de $x$, tienes que: $$q \cdot x = p$$ Aplica $f$ en ambos lados: $$f(q \cdot x) = f(p)$$ Usando el resultado del Paso 1 (extendido para permitir que $x$ sea el argumento), sabes que para un entero $q$, $f(qx) = f(x + \dots + x) = qf(x)$. Usando el resultado del Paso 3, sabes que $f(p) = cp$. Sustituyendo esto en la ecuación: $$qf(x) = cp$$ Dividiendo entre $q$ (que no es cero): $$f(x) = c \cdot \frac{p}{q} = cx$$
Por lo tanto, $f(x) = cx$ para todo $x \in \mathbb{Q}$. $\square$