Dividir multiplicando por el conjugado.
La división de complejos es la operación aritmética que usas para encontrar un cociente $\frac{z}{w}$ donde $z$ y $w$ son números complejos y $w \neq 0$. A diferencia de la suma o la multiplicación, la división no es tan intuitiva cuando usas la forma rectangular estándar $a+bi$. Tu objetivo principal al dividir complejos es eliminar la unidad imaginaria $i$ del denominador para que puedas expresar el resultado en la forma estándar $x+yi$, donde $x$ y $y$ son números reales.
Para lograr esto, usa la propiedad del conjugado complejo. El producto de un número complejo $w = c+di$ y su conjugado $\bar{w} = c-di$ es un número real: $w\bar{w} = c^2 + d^2 = |w|^2$. Si multiplicas tanto el numerador como el denominador de la fracción por el conjugado del denominador, transformas el denominador en un número real. Este proceso es muy parecido a "racionalizar el denominador" cuando trabajas con radicales en álgebra.
Geométricamente, puedes interpretar la división de complejos usando coordenadas polares. Si representas los números complejos con sus magnitudes y argumentos (ángulos), dividir $z$ entre $w$ equivale a dividir la magnitud de $z$ entre la magnitud de $w$ y restar el argumento de $w$ al argumento de $z$. Aunque el método algebraico con conjugados es el estándar para cálculos en coordenadas rectangulares, la interpretación geométrica te da una visión clave para problemas que involucran rotaciones y escalamientos en el plano complejo.
Toma $z = a+bi$ y $w = c+di$, donde $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ y $w \neq 0$.
Fórmula Algebraica Estándar: $$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i $$
Forma Compacta usando Conjugados: $$ \frac{z}{w} = \frac{z\bar{w}}{w\bar{w}} = \frac{z\bar{w}}{|w|^2} $$
Recíproco de un Número Complejo: $$ \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} $$
División en Forma Polar: Si $z = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$ y $w = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$, entonces: $$ \frac{z}{w} = \frac{r_1}{r_2} \left[ \cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) \right] $$
Teorema: Para números complejos $z = a+bi$ y $w = c+di$ con $w \neq 0$, el cociente $\frac{z}{w}$ es igual a $\frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$.
Demostración: Lo que quieres es expresar la fracción $\frac{a+bi}{c+di}$ en la forma $x+yi$ donde $x, y \in \mathbb{R}$.
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador, $\bar{w} = c-di$. Esto equivale a multiplicar la expresión por $1$, así que el valor no cambia: $$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} $$
Desarrolla el denominador. Usa la identidad de diferencia de cuadrados (o la distribución normal): $$ (c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 $$ Como $i^2 = -1$, esto queda como: $$ c^2 - d^2(-1) = c^2 + d^2 $$ Nota que como $w \neq 0$, al menos uno de los valores $c$ o $d$ no es cero, por lo que $c^2+d^2 > 0$.
Desarrolla el numerador usando la propiedad distributiva: $$ (a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi^2 $$ Sustituye $i^2 = -1$: $$ = ac - adi + bci - bd(-1) $$ $$ = ac + bd + (bc - ad)i $$
Junta el numerador y el denominador ya simplificados: $$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2} $$
Separa