Interpolación de Lagrange

Teoría

La Interpolación de Lagrange es una técnica fundamental en el álgebra de polinomios que sirve para reconstruir un polinomio a partir de un conjunto específico de valores. Específicamente, si tienes $n+1$ puntos distintos $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$, la fórmula de Interpolación de Lagrange te da un método explícito para construir el único polinomio $P(x)$ de grado a lo más $n$ tal que $P(x_i) = y_i$ para todo $0 \le i \le n$. A diferencia de resolver un sistema de ecuaciones lineales con una matriz de Vandermonde para hallar los coeficientes, el método de Lagrange construye el polinomio directamente como una combinación lineal de polinomios "base".

En las olimpiadas de matemáticas, esta herramienta es indispensable no solo para encontrar polinomios, sino también para demostrar identidades, analizar raíces de polinomios y acotar valores. La idea principal es construir polinomios "interruptores" (que seguido escribimos como $L_i(x)$). Diseñas $L_i(x)$ de tal forma que valga $1$ en $x_i$ y $0$ en todos los demás nodos $x_j$ ($j \neq i$). Al escalar cada interruptor por el valor objetivo correspondiente $y_i$ y sumarlos, obligas al polinomio resultante a pasar por cada punto requerido al mismo tiempo sin que los valores interfieran entre sí.

Este concepto lo usas seguido en problemas de polinomios simétricos, teoría de números (polinomios con valores enteros) y ecuaciones funcionales. También te sirve como base para demostrar que si un polinomio de grado $n$ se hace cero en $n+1$ puntos, tiene que ser el polinomio cero. Además, la fórmula está muy relacionada con la descomposición en fracciones parciales, lo que seguido te permite calcular sumas complicadas al interpretarlas como coeficientes o valores de un polinomio interpolador.

Fórmulas Clave

Los Polinomios de la Base de Lagrange Para un conjunto de $n+1$ nodos distintos $x_0, x_1, \dots, x_n$, el polinomio base $L_j(x)$ correspondiente a $x_j$ lo definimos como: $$L_j(x) = \prod_{\substack{i=0 \ i \neq j}}^{n} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}$$ Nota que $L_j(x_i) = \delta_{ij}$ (la delta de Kronecker), lo que significa que vale $1$ si $i=j$ y $0$ si $i \neq j$.

La Fórmula de Interpolación El único polinomio $P(x)$ de grado a lo más $n$ que pasa por $(x_0, y_0), \dots, (x_n, y_n)$ es: $$P(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j L_j(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j \prod_{\substack{i=0 \ i \neq j}}^{n} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}$$

Forma Alternativa usando el Polinomio Nodal Sea $\omega(x