2 $\triangle{ABC}$ es isósceles $(AB=AC)$ . Existen puntos $P$ y $Q$ en el interior del triángulo tales que $Q$ está dentro de $\widehat{PAC}$ y $\widehat{PAQ} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$ . También tenemos $BP=PQ=CQ$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $(AP,BQ)$ y $(AQ,CP)$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $PQYX$ es cíclico. (20 puntos)

3 Los puntos distintos $B,B',C,C'$ están sobre una recta arbitraria $\ell$ . $A$ es un punto que no está sobre $\ell$ . Una recta que pasa por $B$ y es paralela a $AB'$ interseca a $AC$ en $E$ , y una recta que pasa por $C$ y es paralela a $AC'$ interseca a $AB$ en $F$ . Sea $X$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle{ABC}$ y $\triangle{AB'C'}$ ( $A \neq X$ ) . Demuestre que $EF \parallel AX$ .

4 $D$ es un punto arbitrario sobre el lado $BC$ de $\triangle{ABC}$ . La circunferencia $\omega_1$ es tangente a los segmentos $AD$ , $BD$ y a la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ , y la circunferencia $\omega_2$ es tangente a los segmentos $AD$ , $CD$ y a la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$ con $BC$ respectivamente, y tome $M$ como el punto medio de $XY$ . Sea $T$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ . Si $I$ es el incentro de $\triangle{ABC}$ , demuestre que $TM$ pasa por el punto medio de $ID$ .

5 $X$ e $Y$ son dos puntos sobre el lado $BC$ de $\triangle{ABC}$ o sobre sus prolongaciones, tales que $\widehat{XAY} = 90$ . Sea $H$ el ortocentro de $\triangle{ABC}$ . Tome $X'$ e $Y'$ como los puntos de intersección de $(BH,AX)$ y $(CH,AY)$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle{CYY'}$ , la circunferencia circunscrita de $\triangle{BXX'}$ y $X'Y'$ son concurrentes.

2007.2.2 Los círculos $K_1$ y $K_2$ de radios distintos se intersectan en dos puntos $A_1$ y $A_2$. Sea $t$ la tangente común de los círculos que está más cerca del punto $A_1$. Sean $B_1$ y $B_2$ los puntos de tangencia de $t$ con los círculos $K_1$ y $K_2$. Sean $K_3$ y $K_4$ círculos con radios $|A_1B_1|$ y $|A_1B_2|$ y con centro en $A_1$. Los círculos $K_1$ y $K_3$ se intersectan en el punto $C_1$, y los círculos $K_2$ y $K_4$ se intersectan en $C_2$. Sea $D$ la intersección de las rectas $B_1C_1$ y $B_2C_2$, y sea el punto $E$ la intersección de la recta $B_1C_1$ con el círculo $K_4$ que está del mismo lado de la recta $B_2C_2$ que el punto $C_1$. Demuestra que la recta $A_1D$ es perpendicular a la recta $EC_2$.

1 En cada uno de los apartados (a) a (d) debe hallar una función sobreyectiva estrictamente creciente de A a B, o demostrar que no existe ninguna. (a) $A=\{x|x\in \mathbb{Q},x\leq \sqrt{2}\}$ y $B=\{x|x\in \mathbb{Q},x\leq \sqrt{3}\}$ (b) $A=\mathbb{Q}$ y $B=\mathbb{Q}\cup \{\pi \} $ En (c) y (d) decimos que $(x,y)>(z,t)$ , con $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ , siempre que $x>z$ o $x=z$ e $y>t$ . (c) $A=\mathbb{R}$ y $B=\mathbb{R}^2$ (d) $X=\{2^{-x}| x\in \mathbb{N}\}$ ; entonces $A=X \times (X\cup \{0\})$ y $B=(X \cup \{ 0 \}) \times X$ (e) Si $A,B \subset \mathbb{R}$ son tales que existe una función sobreyectiva no decreciente de $A$ a $B$ y una función sobreyectiva no decreciente de $B$ a $A$ , ¿existe una función sobreyectiva estrictamente creciente de $B$ a $A$ ? El tiempo permitido para este problema fue de 2 horas.

2 Considere un campo plano en el que existe un valle con la forma de una franja infinita de ancho arbitrario $\omega$ . Hay un poliedro de diámetro $d$ (el diámetro de un poliedro es la distancia máxima entre los puntos del poliedro) en un lado del valle y un foso de diámetro $d$ en el otro lado. Queremos hacer rodar el poliedro y colocarlo en el foso de modo que el poliedro y el campo siempre se toquen en al menos un punto mientras rueda (si el poliedro y el campo se tocan en al menos un punto, el poliedro no caerá al valle). Para cruzar el valle, hemos construido un puente rectangular con un ancho de $\frac{d}{10}$ sobre el valle. Demuestre que siempre podemos colocar el poliedro en el foso considerando las condiciones mencionadas. (Obtendrá una buena puntuación si demuestra la afirmación para $\omega = 0$ ) .

3 (a) $n$ es un número natural. $d_1,\dots,d_n,r_1,\dots ,r_n$ son números naturales tales que para cada $i,j$ con $1\leq i < j \leq n$ se tiene $(d_i,d_j)=1$ y $d_i\geq 2$ . Demuestre que existe un $x$ tal que (i) $1 \leq x \leq 3^n$ (ii) Para cada $1 \leq i \leq n$ \[x \overset{d_i}{\not{\equiv}} r_i\] (b) Para cada $\epsilon >0$ demuestre que existe un natural $N$ tal que para cada $n>N$ y cualesquiera $d_1,\dots,d_n,r_1,\dots ,r_n$ que satisfacen las condiciones anteriores existe un $x$ que satisface (ii) tal que $1\leq x \leq (2+\epsilon )^n$ . El tiempo permitido para este examen fue de 75 minutos.

4 Sea $P$ un polígono regular de $2n$ lados. Una rombiculación de $P$ es una división de $P$ en rombos tal que no haya dos que se intersequen y ningún vértice de un rombo esté sobre una arista de otros rombos o de $P$ . (a) Demuestre que el número de rombos es una función de $n$ . Halle el valor de esta función. Halle también el número de vértices y de aristas de los rombos como función de $n$ . (b) Demuestre o refute que siempre existe una arista $e$ de $P$ tal que al borrar todos los segmentos paralelos a $e$ los rombos restantes quedan conexos. (c) ¿Es cierto que dos rombiculaciones cualesquiera pueden transformarse una en la otra aplicando varias veces el siguiente algoritmo? Algoritmo: tome un hexágono —no necesariamente regular— formado por 3 rombos y vuelva a rombicular el hexágono. (d) Sea $f(n)$ el número de maneras de rombicular $P$ . Demuestre que \[\Pi_{k=1}^{n-1} ( \binom{k}{2} +1) \leq f(n) \leq \Pi_{k=1}^{n-1} k^{n-k} \]

5 Un polígono no necesariamente plano en $\mathbb{R}^3$ se denomina polígono de cuadrícula si cada una de sus aristas es paralela a uno de los ejes. (a) Hay un ángulo recto entre cada dos lados vecinos del polígono de cuadrícula; el plano que contiene este ángulo puede ser paralelo al plano $xy$ , al plano $yz$ o al plano $xz$ . Demuestre que la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $xy$ es igual a la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $yz$ y a la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $zx$ . (b) Un polígono de cuadrícula se denomina inscrito si existe un punto del espacio que equidista de todos los vértices del polígono. Demuestre que todo hexágono de cuadrícula no plano es inscrito. (c) ¿Existe un 2014-ágono de cuadrícula sin vértices repetidos tal que exista un plano que interseca a todas sus aristas? (d) Si $a,b,c \in \mathbb{N}-\{1\}$ , demuestre que $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo si y solo si existe un polígono de cuadrícula en el que el número de aristas paralelas al eje $x$ es $a$ , el número de aristas paralelas al eje $y$ es $b$ y el número de aristas paralelas al eje $z$ es $c$ . El tiempo permitido para este examen fue de 1 hora.