Sea $f_1 = (a_1, a_2, \dots , a_n) , n > 2$ , una secuencia de enteros. A partir de $f_1$ se construye una secuencia $f_k$ de secuencias de la siguiente manera: si $f_k = (c_1, c_2, \dots, cn)$ , entonces $f_{k+1} = (c_{i_{1}}, c_{i_{2}}, c_{i_{3}} + 1, c_{i_{4}} + 1, . . . , c_{i_{n}} + 1)$ , donde $(c_{i_{1}}, c_{i_{2}},\dots , c_{i_{n}})$ es una permutación de $(c_1, c_2, \dots, c_n)$ . Dé una condición necesaria y suficiente para $f_1$ bajo la cual es posible que $f_k$ sea una secuencia constante $(b_1, b_2,\dots , b_n), b_1 = b_2 =\cdots = b_n$ , para alguna $k.$

Desde cada uno de los vértices de un $n$ -gono regular, un coche comienza a moverse con velocidad constante a lo largo del perímetro del $n$ -gono en la misma dirección. Demuestre que si todos los coches terminan en un vértice $A$ al mismo tiempo, entonces nunca más se encontrarán en ningún otro vértice del $n$ -gono. ¿Pueden volver a encontrarse en $A$ ?

Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $26$ , demuestre que el conjunto tiene cuatro elementos distintos cuya media geométrica es un entero.

En un país dado, todos los habitantes son caballeros o bribones. Un caballero nunca miente; un bribón siempre miente. Conocemos a tres personas, $A, B$ y $C$. La persona $A$ dice: 'Si $C$ es un caballero, $B$ es un bribón'. La persona $C$ dice: '$A$ y yo somos diferentes; uno es un caballero y el otro es un bribón'. ¿Quiénes son los caballeros y quiénes son los bribones?

Sea $F$ la correspondencia que asocia a cada punto $P = (x, y)$ el punto $P' = (x', y')$ tal que\n$ x'= ax + b,\qquad y'= ay + 2b. \qquad (1)$\nDemuestre que si $a \neq 1$ , todas las líneas $PP'$ son concurrentes. Encuentre la ecuación del conjunto de puntos correspondientes a $P = (1, 1)$ para $b = a^2$. Demuestre que la composición de dos mapeos de tipo $(1)$ es del mismo tipo.

Sea $C$ la curva determinada por la ecuación $y = x^3$ en el sistema de coordenadas rectangulares. Sea $t$ la tangente a $C$ en un punto $P$ de $C$ ; $t$ interseca a $C$ en otro punto $Q$. Encuentre la ecuación del conjunto $L$ de los puntos medios $M$ de $PQ$ cuando $P$ describe $C$. ¿Es la correspondencia que asocia $P$ y $M$ una biyección de $C$ sobre $L$? Encuentre una similitud que transforme $C$ en $L$.

Dos personas, $X$ e $Y$, juegan con un dado. $X$ gana un juego si el resultado es $1$ o $2$; $Y$ gana en los otros casos. Un jugador gana un partido si gana dos juegos consecutivos. Para cada jugador determine la probabilidad de ganar un partido dentro de $5$ juegos. Determine las probabilidades de ganar en un número ilimitado de juegos. Si $X$ apuesta $1$, ¿cuánto debe apostar $Y$ para que el juego sea justo?

¿Para qué enteros $n \geq 3$ existe un $n$-gono regular en el plano tal que todos sus vértices tienen coordenadas enteras en un sistema de coordenadas rectangulares?

Un conjunto de $1985$ puntos se distribuyen alrededor de la circunferencia de un círculo y cada uno de los puntos está marcado con $1$ o $-1$. Un punto se llama 'bueno' si las sumas parciales que se pueden formar comenzando en ese punto y avanzando alrededor del círculo para cualquier distancia en cualquier dirección son todas estrictamente positivas. Demuestre que si el número de puntos marcados con $-1$ es menor que $662$, debe haber al menos un punto bueno.

Suponga que se dan $1985$ puntos dentro de un cubo unitario. Demuestre que siempre se pueden elegir $32$ de ellos de tal manera que todo polígono cerrado (posiblemente degenerado) con estos puntos como vértices tenga una longitud total de menos de $8 \sqrt 3$.