1 Un cuadrado $ABCD$ está inscrito en un círculo. Si $M$ es un punto en el arco menor $AB$, demuestra que \[MC \cdot MD > 3\sqrt{3} \cdot MA \cdot MB.\]

2 Demuestra que el polinomio $z^{2n} + z^n + 1\ (n \in \mathbb{N})$ es divisible por el polinomio $z^2 + z + 1$ si y solo si $n$ no es múltiplo de $3$.

En un triángulo $ABC$, $I$ es el incentro y $D, E, F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con $BC, CA, AB$, respectivamente. La bisectriz del ángulo $BIC$ corta a $BC$ en $M$, y la recta $AM$ interseca a $EF$ en $P$. Demuestra que $DP$ biseca al ángulo $FDE$.

1 $ f(x)$ es un polinomio dado cuyo grado es al menos 2. Define la siguiente sucesión de polinomios: $ g_1(x)=f(x), g_{n+1}(x)=f(g_n(x))$ , para todo $ n \in N$ . Sea $ r_n$ el promedio de las raíces de $ g_n(x)$ . Si $ r_{19}=99$ , encuentra $ r_{99}$ .

Se trazan $2n+1$ rectas en el plano, de modo que cualesquiera 3 rectas definan un triángulo sin ángulos rectos. ¿Cuál es el número máximo posible de triángulos agudos que se pueden formar de esta manera?

3 Encuentra todas las funciones \( f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R} \) que satisfacen \( f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1 \) para todo \( x,y\in\mathbb{Q} \).

Sea $A$ el conjunto de todos los polinomios $f(x)$ de grado $3$ con coeficientes enteros y coeficiente cúbico $1$, tales que para cada $f(x)$ existe un número primo $p$ que no divide a $2004$ y un número $q$ coprimo con $p$ y con $2004$, de modo que $f(p)=2004$ y $f(q)=0$. Demuestra que existe un subconjunto infinito $B\subset A$, tal que las gráficas de las funciones de los miembros de $B$ son idénticas salvo traslaciones.

3 Sean $a,b,c\not= 0$ y $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ tales que $x+y+z=3$. Demuestra que \[\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\geq\frac{x}{1+a^2}+\frac{y}{1+b^2}+\frac{z}{1+c^2}\]

¿Existe un círculo y un conjunto infinito de puntos sobre él tal que la distancia entre cualesquiera dos de los puntos sea racional?

1 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales mayores que $1$ . Demuestre la desigualdad $$\frac{ab}{c-1}+\frac{bc}{a - 1}+\frac{ca}{b -1} \ge 12.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? (Karl Czakler)