Demuestre que el producto de dos lados de un triángulo es siempre mayor que el producto de los diámetros del círculo inscrito y el círculo circunscrito.

Cada uno de los números $x_1, x_2, \dots, x_n$ es igual a $1$ o $-1$ y \[\sum_{i=1}^n x_i x_{i+1} x_{i+2} x_{i+3} =0.\] donde $x_{n+i}=x_i $ para todo $i$ . Demostrar que $4\mid n$ .

Dado un triángulo $ABC$ y puntos externos $X, Y$ y $Z$ tales que $\angle BAZ = \angle CAY , \angle CBX = \angle ABZ$ y $\angle ACY = \angle BCX$ , demostrar que $AX,BY$ y $CZ$ son concurrentes.

Las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ se intersecan en $X$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demostrar que (a) $\angle BAM = \angle CAX$ , y (b) $\frac{AM}{AX} = \cos\angle BAC.$

Llamamos a una coloración $f$ de los elementos en el conjunto $M = \{(x, y) | x = 0, 1, \dots , kn - 1; y = 0, 1, \dots , ln - 1\}$ con $n$ colores admisible si cada color aparece exactamente $k$ y $l$ veces en cada fila y columna y no hay rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas tales que todos los vértices en $M$ tienen el mismo color. Demuestre que cada coloración admisible $f$ satisface $kl \leq n(n + 1).$

Demostrar que un triángulo con ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ , circunradio $R$ y área $A$ satisface \[\tan \frac{ \alpha}{2}+\tan \frac{ \beta}{2}+\tan \frac{ \gamma}{2} \leq \frac{9R^2}{4A}.\] Observación. ¿Podemos determinar todos los casos de igualdad?

Un círculo cuyo centro está en el lado $ED$ del cuadrilátero cíclico $BCDE$ toca los otros tres lados. Demuestre que $EB+CD = ED.$

Determinar si existen $100$ rectas distintas en el plano que tengan exactamente $1985$ puntos de intersección distintos.

Una secuencia de polinomios $P_m(x, y, z), m = 0, 1, 2, \cdots$, en $x, y$ y $z$ se define por $P_0(x, y, z) = 1$ y por \[P_m(x, y, z) = (x + z)(y + z)P_{m-1}(x, y, z + 1) - z^2P_{m-1}(x, y, z)\] para $m > 0$. Demuestre que cada $P_m(x, y, z)$ es simétrico, en otras palabras, no se altera por ninguna permutación de $x, y, z.$

Se da una rejilla rectangular plana y un 'punto racional' se define como un punto $(x, y)$ donde $x$ e $y$ son ambos números racionales. Sean $A,B,A',B'$ cuatro puntos racionales distintos. Sea $P$ un punto tal que $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'P}{BP} = \frac{PA'}{PA}.$ En otras palabras, los triángulos $ABP, A'B'P$ son directa u opuestamente similares. Demuestra que $P$ es en general un punto racional y encuentra las posiciones excepcionales de $A'$ y $B'$ relativas a $A$ y $B$ tales que existe un $P$ que no es un punto racional.