Considere el conjunto $A = \{0, 1, 2, \dots , 9 \}$ y sea $(B_1,B_2, \dots , B_k)$ una colección de subconjuntos no vacíos de $A$ tal que $B_i \cap B_j$ tiene a lo sumo dos elementos para $i \neq j$. ¿Cuál es el valor máximo de $k$ ?

La secuencia $(s_n)$, donde $s_n= \sum_{k=1}^n \sin k$ para $n = 1, 2,\dots$ está acotada. Encuentre una cota superior e inferior.

Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i-0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Pruebe que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_{1}}+Q_{i_{2}}+\ldots+Q_{i_{n}})\ge o(Q_{i_{1}}). \]

Pruebe que hay infinitos pares $(k,N)$ de enteros positivos tales que $1 + 2 + \cdots + k = (k + 1) + (k + 2)+\cdots + N.$

a) El sólido $S$ se define como la intersección de las seis esferas con las seis aristas de un tetraedro regular $T$, con longitud de arista $1$, como diámetros. Pruebe que $S$ contiene dos puntos a una distancia $\frac{1}{\sqrt 6}.$ \nb) Usando las mismas suposiciones en a), pruebe que ningún par de puntos en $S$ tiene una distancia mayor que $\frac{1}{\sqrt 6}.$

Sea $ABCD$ un rombo con ángulo $\angle A = 60^\circ$. Sea $E$ un punto, diferente de $D$, en la línea $AD$. Las líneas $CE$ y $AB$ se intersecan en $F$. Las líneas $DF$ y $BE$ se intersecan en $M$. Determine el ángulo $\angle BMD$ como una función de la posición de $E$ en $AD$.

Los puntos $A,B,C$ están en este orden en la línea $D$ , y $AB = 4BC$ . Sea $M$ un punto variable en la perpendicular a $D$ a través de $C$ . Sean $MT_1$ y $MT_2$ tangentes al círculo con centro $A$ y radio $AB$ . Determine el lugar geométrico del ortocentro del triángulo $MT_1T_2.$

Sea $S_n = \sum_{p=1}^n (p^5+p^7)$ . Determine el máximo común divisor de $S_n$ y $S_{3n}.$

Para cada $P$ dentro del triángulo $ABC$ , sean $A(P), B(P)$ , y $C(P)$ los puntos de intersección de las líneas $AP, BP$ , y $CP$ con los lados opuestos a $A, B$ , y $C$ , respectivamente. Determine $P$ de tal manera que el área del triángulo $A(P)B(P)C(P)$ sea lo más grande posible.

En el triángulo $ABC$ , sea $B_1$ en $AC, E$ en $AB, G$ en $BC$ , y sea $EG$ paralelo a $AC$ . Además, sea $EG$ tangente al círculo inscrito del triángulo $ABB_1$ e interseca a $BB_1$ en $F$ . Sean $r, r_1$ , y $r_2$ los inradios de los triángulos $ABC, ABB_1$ , y $BFG$ , respectivamente. Demuestre que $r = r_1 + r_2.$