1 Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros que satisfacen la igualdad $\sqrt{x-\sqrt{y}}+ \sqrt{x+\sqrt{y}}= \sqrt{xy}$

2 Cada entero positivo debe colorearse de rojo o de verde de modo que se cumplan las dos condiciones siguientes: - Sea $n$ cualquier número rojo. La suma de cualesquiera $n$ números rojos (no necesariamente distintos) es roja. - Sea $m$ cualquier número verde. La suma de cualesquiera $m$ números verdes (no necesariamente distintos) es verde. Determine todos los coloreos de este tipo.

3 El pentágono $ABCDE$ está inscrito en una circunferencia y $AB = BC = CD$ . Los segmentos $AC$ y $BE$ se intersecan en $K$ , y los segmentos $AD$ y $CE$ se intersecan en el punto $ L$ . Demuestre que $AK = KL$ .

4 Determine el mayor número de dos cifras $d$ con la siguiente propiedad: para cualquier número de seis cifras $\overline{aabbcc}$ , el número $d$ es divisor del número $\overline{aabbcc}$ si y solo si el número $d$ es divisor del correspondiente número de tres cifras $\overline{abc}$ . Nota: Los números $a \ne 0, b$ y $c$ no necesitan ser distintos.

5 El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$ . El punto $P$ está sobre el segmento $AB$ , y los puntos $S_1$ y $S_2$ son los centros de las circunferencias circunscritas de $APC$ y $BPC$ , respectivamente. Demuestre que el punto medio del segmento $S_1S_2$ está sobre la mediatriz del segmento $CM$ .

1 Decida si hay infinitos primos $p$ que tengan un múltiplo de la forma $n^2 + n + 1$ para algún número natural $n$

2 Halle todos los números naturales $n$ tales que la suma de los tres divisores más grandes de $n$ sea $1457$ .

3 En cierto grupo hay $n \ge 5$ personas, y cada dos personas que no se conocen tienen exactamente un amigo en común, y nadie conoce a todos los demás. Demuestre que $5$ de las $n$ personas pueden sentarse en círculo alrededor de la mesa de modo que cada una de ellas se siente entre a) amigos, b) desconocidos.

Dos circunferencias $\alpha{}$ y $\beta{}$ con centros $A{}$ y $B{}$ , respectivamente, se intersecan en los puntos $C{}$ y $D{}$ . El segmento $AB{}$ interseca a $\alpha{}$ y $\beta{}$ en los puntos $K{}$ y $L{}$ , respectivamente. El rayo $DK$ interseca a la circunferencia $\beta{}$ por segunda vez en el punto $N{}$ , y el rayo $DL$ interseca a la circunferencia $\alpha{}$ por segunda vez en el punto $M{}$ . Demuestre que el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $KLMN$ coincide con el incentro del triángulo $ABC$ . Konstantin Knop

Hay dos mesas redondas con $n{}$ enanos sentados en cada una. Cada enano tiene solo dos amigos: sus vecinos a la izquierda y a la derecha. Un buen mago quiere sentar a los enanos en una sola mesa redonda de modo que cada dos vecinos sean amigos. Su magia le permite convertir cualesquiera $2n$ pares de enanos en pares de amigos (los enanos de un par pueden ser de la misma mesa o de mesas diferentes). Sin embargo, sabe que un hechicero malvado romperá $n{}$ de esas nuevas amistades. ¿Para qué $n{}$ puede el buen mago lograr su objetivo sin importar lo que haga el hechicero malvado? Mikhail Svyatlovskiy