5 Un polígono no necesariamente plano en $\mathbb{R}^3$ se denomina polígono de cuadrícula si cada una de sus aristas es paralela a uno de los ejes. (a) Hay un ángulo recto entre cada dos lados vecinos del polígono de cuadrícula; el plano que contiene este ángulo puede ser paralelo al plano $xy$ , al plano $yz$ o al plano $xz$ . Demuestre que la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $xy$ es igual a la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $yz$ y a la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $zx$ . (b) Un polígono de cuadrícula se denomina inscrito si existe un punto del espacio que equidista de todos los vértices del polígono. Demuestre que todo hexágono de cuadrícula no plano es inscrito. (c) ¿Existe un 2014-ágono de cuadrícula sin vértices repetidos tal que exista un plano que interseca a todas sus aristas? (d) Si $a,b,c \in \mathbb{N}-\{1\}$ , demuestre que $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo si y solo si existe un polígono de cuadrícula en el que el número de aristas paralelas al eje $x$ es $a$ , el número de aristas paralelas al eje $y$ es $b$ y el número de aristas paralelas al eje $z$ es $c$ . El tiempo permitido para este examen fue de 1 hora.