Sea $n \geq 3$ y $a_1,a_2,...,a_n$ números complejos diferentes de $0$ con $|a_i| < 1$ para todo $i \in \{1,2,...,n-1 \}.$ Si los coeficientes de $f = \prod_{i=1}^n (X-a_i)$ son enteros, demuestra que $\textbf{a)}$ Los números $a_1,a_2,...,a_n$ son distintos.\n$\textbf{b)}$ Si $a_j^2 = a_ia_k,$ entonces $i=j=k.$

Sea $f:[0, \infty) \to (0, \infty)$ una función creciente y $g:[0, \infty) \to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable tal que $g''$ es continua y $g''(x)+f(x)g(x) = 0, \: \forall x \geq 0.$\n$\textbf{a)}$ Proporciona un ejemplo de tales funciones, con $g \neq 0.$\n$\textbf{b)}$ Demuestra que $g$ es acotada.

Sea $n \geq 4$ un número natural par y $G$ un subgrupo de $GL_2(\mathbb{C})$ con $|G| = n.$ Demuestra que existe $H \leq G$ tal que $\{ I_2 \} \neq H$ y $H \neq G$ tal que $XYX^{-1} \in H, \: \forall X \in G$ y $\forall Y \in H$

Sea $a>0$ y $\mathcal{F} = \{f:[0,1] \to \mathbb{R} : f \text{ es cóncava y } f(0)=1 \}.$ Determina $$\min_{f \in \mathcal{F}} \bigg\{ \left( \int_0^1 f(x)dx\right)^2 - (a+1) \int_0^1 x^{2a}f(x)dx \bigg\}.$$

Sea $p$ un número primo. Para cualquier $\sigma \in S_p$ (el grupo de permutaciones de $\{1,2,...,p \}),$ define la matriz $A_{\sigma}=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_p(\mathbb{Z})$ como $a_{ij} = \sigma^{i-1}(j),$ donde $\sigma^0$ es la permutación identidad y $\sigma^k = \underbrace{\sigma \circ \sigma \circ ... \circ \sigma}_k.$ Demuestra que $D = \{ |\det A_{\sigma}| : \sigma \in S_p \}$ tiene a lo sumo $1+ (p-2)!$ elementos.

$\textbf{a)}$ Demuestra que existe una función diferenciable $f:(0, \infty) \to (0, \infty)$ tal que $f(f'(x)) = x, \: \forall x>0.$\n$\textbf{b)}$ Demuestra que no existe una función diferenciable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(f'(x)) = x, \: \forall x \in \mathbb{R}.$

Sea $f:[0, \infty) \to \mathbb{R}$ una función continua, constante en $\mathbb{Z}_{\geq 0}.$ Para cualquier $0 \leq a < b < c < d$ que satisfacen $f(a)=f(c)$ y $f(b)=f(d)$ también tenemos $f \left( \frac{a+b}{2} \right) = f \left( \frac{c+d}{2} \right).$ Demuestra que $f$ es constante.

Sea $n \geq 2$ y $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que existe una matriz idempotente $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ para la cual $C^*=AB-BA.$ Demuestra que $(AB-BA)^2=0.$ Nota: $X^*$ es la matriz adjunta de $X$ (no la transpuesta conjugada)

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos no vacíos de enteros no negativos. Denotamos por $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones $f:\mathcal{P}(A) \to B$ que satisfacen $f(X\cap Y)=\min \{f(X), f(Y)\},$ para todos $X,Y \subset A,$ y por $\mathcal{G}$ el conjunto de todas las funciones $g:\mathcal{P}(A) \to B$ que satisfacen $g(X\cup Y)=\max \{g(X), g(Y)\},$ para todos $X,Y \subset A.$ Demuestra que $\mathcal F$ y $\mathcal G$ tienen el mismo número de elementos y encuentra este número.

Encuentra todos los números naturales $ n\ge 4 $ que satisfacen la propiedad de que las afijos de cualesquiera números complejos no nulos, distintos por pares $ a,b,c $ que verifican la ecuación $$ (a-b)^n+(b-c)^n+(c-a)^n=0, $$ representan los vértices de un triángulo equilátero en el plano complejo.