Encuentra el número de trapezoides que se pueden formar con los vértices de un polígono regular.

Si $a,b,c>0$ entonces $$\frac{1}{abc}+1\ge3\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a+b+c}\right)$$

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f(x+y)\leq f(x^2+y)$$ para todos $x,y$ .

Demuestra que el número de soluciones en $ \left( \mathbb{N}\cup\{ 0 \} \right)\times \left( \mathbb{N}\cup\{ 0 \} \right)\times \left( \mathbb{N}\cup\{ 0 \} \right) $ de la ecuación paramétrica $$ \sqrt{x^2+y+n}+\sqrt{y^2+x+n} = z, $$ es mayor que cero y finito, para cualquier número natural $ n. $

Encuentra todos los números naturales que son el cardinal de un conjunto de vectores euclidianos no nulos cuya suma es $ 0, $ la suma de dos cualesquiera de ellos es no nula, y sus magnitudes son iguales.

Sea un punto $ P $ en el interior de un triángulo $ ABC $ tal que $ BP=AC, M $ sea el punto medio del segmento $ AP, R $ sea el punto medio de $ BC $ y $ E $ sea la intersección de $ BP $ con $ AC. $ Demuestra que la bisectriz de $ \angle BEA $ es perpendicular a $ MR $

Encuentra los números naturales $x, y, z$ que verifican la ecuación: $$2^x + 3 \cdot 11^y =7^z$$

En el prisma hexagonal regular $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , construimos $Q$ , las proyecciones del punto $A$ en las líneas $A_1B$ y $A_1C$ respectivamente. Construimos $R,S$ , las proyecciones del punto $D_1$ en las líneas $A_1D$ y $C_1D$ respectivamente.\na) Determina la medida del ángulo entre los planos $(AQP)$ y $(D_1RS)$ .\nb) Demuestra que $\angle AQP = \angle D_1RS$ .

Si $a,b,c\in(0,\infty)$ tal que $a+b+c=3$ , entonces $$\frac{a}{3a+bc+12}+\frac{b}{3b+ca+12}+\frac{c}{3c+ab+12}\le \frac{3}{16}$$

Considera $A$ , el conjunto de números naturales con exactamente $2019$ divisores naturales , y para cada $n \in A$ , denota $$S_n=\frac{1}{d_1+\sqrt{n}}+\frac{1}{d_2+\sqrt{n}}+...+\frac{1}{d_{2019}+\sqrt{n}}$$ donde $d_1,d_2, .., d_{2019}$ son los divisores naturales de $n$ . Determina el valor máximo de $S_n$ cuando $n$ recorre el conjunto $ A$ .