Dado un entero $n\geq 2$ , determine el valor máximo que la suma $x_1+\cdots+x_n$ puede alcanzar, cuando los $x_i$ recorren los enteros positivos, sujeto a $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n$ y $x_1+\cdots+x_n=x_1 x_2\cdots x_n$ .

Sea $ ABC$ un triángulo no isósceles, en el que $ X,Y,$ y $ Z$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de centro $ I$ con los lados $ BC,CA$ y $ AB$ respectivamente. Denotando por $ O$ la circunferencia circunscrita de $ \triangle{ABC}$ , la línea $ OI$ se encuentra con $ BC$ en un punto $ D.$ La perpendicular bajada desde $ X$ a $ YZ$ interseca a $ AD$ en $ E$ . Pruebe que $ YZ$ es la bisectriz perpendicular de $ [EX]$ .

Pruebe que la circunferencia circunscrita de un triángulo contiene exactamente 3 puntos cuyas líneas de Simson son tangentes al círculo de Euler del triángulo y estos puntos son los vértices de un triángulo equilátero.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito tal que $AD>\max\{AB,BC,CD\}$ , $M$ sea el punto común de $AB$ y $CD$ y $N$ sea el punto común de $AC$ y $BD$ . Demuestre que \[90^{\circ}<m(\angle AND)<90^{\circ}+\frac{1}{2}m(\angle AMD).\]

Pruebe que el pentágono $ ABCDE$ es cíclico si y solo si \[\mathrm{d(}E,AB\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,CD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AC\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AD\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BC\mathrm{)}\] donde $ \mathrm{d(}X,YZ\mathrm{)}$ denota la distancia desde el punto $ X$ a la línea $ YZ$ .

Un cuadrado de lado $N=n^2+1$ , $n\in \mathbb{N}^*$ , se divide en cuadrados unitarios (de lado $1$ ) , a lo largo de $N$ filas y $N$ columnas. Los $N^2$ cuadrados unitarios se colorean usando $N$ colores, $N$ cuadrados con cada color. Pruebe que para cualquier coloración existe una fila o una columna que contiene cuadrados unitarios de al menos $n+1$ colores.

Llamamos regla de Golomb a una regla de longitud $l$ , con $k+1\geq 2$ marcas $0<a_1<\ldots <a_{k-1}<l$ , tal que las longitudes que se pueden medir usando marcas en la regla son enteros consecutivos comenzando con $1$ , y cada una de esas longitudes se puede medir entre solo dos de las graduaciones de la regla. Encuentre todas las reglas de Golomb.

Algunas $n>2$ lámparas están conectadas cíclicamente: lámpara $1$ con lámpara $2$ , ..., lámpara $k$ con lámpara $k+1$ , ..., lámpara $n-1$ con lámpara $n$ , lámpara $n$ con lámpara $1$ . Al principio todas las lámparas están apagadas. Cuando uno presiona el interruptor de una lámpara, esa lámpara y las dos conectadas a ella cambian de estado (de apagado a encendido, o viceversa). Determine el número de configuraciones de lámparas alcanzables desde la inicial, a través de algún conjunto de interruptores que se presionan.

Considere una matriz cuyas entradas son enteros. Agregar un mismo entero a todas las entradas en una misma fila, o en una misma columna, se llama una operación. Se da que, para infinitos enteros positivos $n$ , se puede obtener, a través de un número finito de operaciones, una matriz que tiene todas las entradas divisibles por $n$ . Pruebe que, a través de un número finito de operaciones, se puede obtener la matriz nula.

Para subconjuntos no vacíos $A,B \subset \mathbb{Z}$ define \[A+B=\{a+b:a\in A, b\in B\},\ A-B=\{a-b:a\in A, b\in B\}.\] En lo que sigue trabajamos con subconjuntos finitos no vacíos de $\mathbb{Z}$ . Pruebe que podemos cubrir $B$ con a lo sumo $\frac{|A+B|}{|A|}$ traslaciones de $A-A$ , es decir, existe $X\subset Z$ con $|X|\leq \frac{|A+B|}{|A|}$ tal que \[B\subseteq \cup_{x\in X} (x+(A-A))=X+A-A.\]