Encuentre todos los enteros positivos $n$ y $p$ si $p$ es primo y \[ n^8 - p^5 = n^2+p^2 . \]

Tres círculos $\mathcal C_1(O_1)$, $\mathcal C_2(O_2)$ y $\mathcal C_3(O_3)$ comparten un punto común y se encuentran de nuevo por pares en los puntos $A$, $B$ y $C$. Demuestre que si los puntos $A$, $B$, $C$ son colineales entonces los puntos $Q$, $O_1$, $O_2$ y $O_3$ se encuentran en el mismo círculo.

Sean $k,r \in \mathbb N$ y sea $x\in (0,1)$ un número racional dado en representación decimal \[ x = 0.a_1a_2a_3a_4 \ldots . \] Demuestre que si los decimales $a_k, a_{k+r}, a_{k+2r}, \ldots$ se cancelan, el nuevo número obtenido sigue siendo racional.

Sea $ABC$ un triángulo con $BC>CA>AB$ y sea $G$ el centroide del triángulo. Pruebe que \[ \angle GCA+\angle GBC<\angle BAC<\angle GAC+\angle GBA . \]

Sean $a$, $b$, $c$ tres reales positivos tales que $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Pruebe que se cumple la siguiente desigualdad: \[ ab+bc+ca \leq \frac 34 . \]

Una compañía telefónica comienza un nuevo tipo de servicio. Un nuevo cliente puede elegir $k$ números de teléfono en esta red que son libres de llamadas, ya sea que ese número esté llamando o esté siendo llamado. Un grupo de $n$ estudiantes quiere usar el servicio. (a) Si $n\geq 2k+2$, muestre que existen 2 estudiantes a los que se les cobrará cuando hablen. (b) Si $n=2k+1$, muestre que hay una manera de organizar las llamadas gratuitas para que todos puedan hablar gratis con cualquier otra persona en el grupo.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $M$ un punto dentro del triángulo. Denotamos por $A'$, $B'$, $C'$ las proyecciones del punto $M$ en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente. Pruebe que las líneas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes si y solo si $M$ pertenece a una altura del triángulo.

En los lados $AD$ y $BC$ de un rombo $ABCD$ consideramos los puntos $M$ y $N$ respectivamente. La línea $MC$ intersecta el segmento $BD$ en el punto $T$, y la línea $MN$ intersecta el segmento $BD$ en el punto $U$. Denotamos por $Q$ la intersección entre la línea $CU$ y el lado $AB$ y con $P$ el punto de intersección entre la línea $QT$ y el lado $CD$. Pruebe que los triángulos $QCP$ y $MCN$ tienen la misma área.

Sean $a,b,c$ números positivos tales que $a+b+c \geq \dfrac 1a + \dfrac 1b + \dfrac 1c$. Pruebe que \[ a+b+c \geq \frac 3{abc}. \]

En un país, 6 ciudades están conectadas dos a dos con rutas aéreas de ida y vuelta operadas por exactamente una de las dos compañías aéreas en ese país. Pruebe que existen 4 ciudades $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que cada una de las rutas $A\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow D$ y $D\leftrightarrow A$ son operadas por la misma compañía.