¿Existe una función $f:[0,1]\rightarrow (0,\infty)$ tal que $f$ sea diferenciable en $[0,1]$? Su derivada $f'$ es continua en $[0,1]$. $(f'(x))^3-x^{\frac{1}{3}}>6(1-f(x)^{\frac{1}{5}})$ para todo $x\in [0,1]$. $f(1)=1$

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todas $x,y\in \mathbb{R}$ , \[xf(y+x)+(y+x)f(y)=f(x^2+y^2)+2f(xy)\]

Alicia y Bob juegan un juego en un grafo conexo con $2n$ vértices, donde $n\in \mathbb{N}$ y $n>1$. Alicia y Bob tienen fichas llamadas A y B respectivamente. Alternan sus turnos, comenzando Alicia. Alicia decide las posiciones iniciales de A y B. En cada movimiento, el jugador en turno mueve su ficha a un vértice adyacente. El objetivo de Bob es atrapar a Alicia, y el objetivo de Alicia es evitar esto. Tenga en cuenta que las posiciones de A, B son visibles para ambos jugadores en todo momento. Si ambos juegan de manera óptima, ¿cuál es el número máximo posible de aristas en el grafo si Alicia puede evadir a Bob indefinidamente?

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\{0, 1\}$. Suponga que $a, b$ son enteros no nulos tales que para cada $f \in \mathcal{P}$ con $f(a)\neq 0$, tenemos $f(a) \mid f(b)$. Demuestre que $a=b$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todas $x,y\in \mathbb{R}$ , \[xf(y+x)+(y+x)f(y)=f(x^2+y^2)+2f(xy)\]

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. $N$ es el punto en la línea $AM$ tal que $(BMN)$ es tangente a $AB$. Finalmente, sea $H'$ la reflexión de $H$ en $B$. Demuestre que $\angle ANH'=90^{\circ}$.

Alicia y Bob juegan un juego en un grafo conexo con $2n$ vértices, donde $n\in \mathbb{N}$ y $n>1$. Alicia y Bob tienen fichas llamadas A y B respectivamente. Alternan sus turnos, comenzando Alicia. Alicia decide las posiciones iniciales de A y B. En cada movimiento, el jugador en turno mueve su ficha a un vértice adyacente. El objetivo de Bob es atrapar a Alicia, y el objetivo de Alicia es evitar esto. Tenga en cuenta que las posiciones de A, B son visibles para ambos jugadores en todo momento. Si ambos juegan de manera óptima, ¿cuál es el número máximo posible de aristas en el grafo si Alicia puede evadir a Bob indefinidamente?

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\{0, 1\}$. Suponga que $a, b$ son enteros no nulos tales que para cada $f \in \mathcal{P}$ con $f(a)\neq 0$, tenemos $f(a) \mid f(b)$. Demuestre que $a=b$.

Alicia y Bob juegan un juego en un grafo conexo con $2n$ vértices, donde $n\in \mathbb{N}$ y $n>1$. Alicia y Bob tienen fichas llamadas A y B respectivamente. Alternan sus turnos, comenzando Alicia. Alicia decide las posiciones iniciales de A y B. En cada movimiento, el jugador en turno mueve su ficha a un vértice adyacente. El objetivo de Bob es atrapar a Alicia, y el objetivo de Alicia es evitar esto. Tenga en cuenta que las posiciones de A, B son visibles para ambos jugadores en todo momento. Si ambos juegan de manera óptima, ¿cuál es el número máximo posible de aristas en el grafo si Alicia puede evadir a Bob indefinidamente?

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. $N$ es el punto en la línea $AM$ tal que $(BMN)$ es tangente a $AB$. Finalmente, sea $H'$ la reflexión de $H$ en $B$. Demuestre que $\angle ANH'=90^{\circ}$.