Encuentre el entero positivo más grande $n>10$ tal que el residuo de $n$ cuando se divide por cada cuadrado perfecto entre $2$ y $\dfrac n2$ es un número impar.

Sean $\mathcal{C}_1(O_1)$ y $\mathcal{C}_2(O_2)$ dos círculos que se intersecan en los puntos $A$ y $B$. La tangente en $A$ a $\mathcal{C}_2$ intersecta al círculo $\mathcal{C}_1$ en $C$, y la tangente en $A$ a $\mathcal{C}_1$ intersecta a $\mathcal{C}_2$ en $D$. Un rayo que parte de $A$ y se encuentra dentro del $\angle CAD$ intersecta los círculos $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente, y el circuncírculo de $\triangle ACD$ en $P$. Pruebe que $AM=NP$.

$ i(L) $ denota el número de operaciones binarias multiplicativas sobre el conjunto de elementos del grupo aditivo finito $ L $ tal que el conjunto de elementos de $ L, $ junto con estas operaciones aditivas y multiplicativas, forman un anillo. Demuestra que\na) $ i\left( \mathbb{Z}_{12} \right) =4. $\nb) $ i(A\times B)\ge i(A)i(B) , $ para cualesquiera dos grupos conmutativos finitos $ B $ y $ A. $\nc) existen dos secuencias $ \left( G_k \right)_{k\ge 1} ,\left( H_k \right)_{k\ge 1} $ de grupos conmutativos finitos tales que\n$ \lim_{k\to\infty }\frac{\# G_k }{i\left( G_k \right)} =0 $\ny\n$ \lim_{k\to\infty }\frac{\# H_k }{i\left( H_k \right)} =\infty. $

Sea una función continua $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que tiene la propiedad de que\n$ xf(x)\ge \int_0^x f(t)dt , $\npara todos los números reales $ x. $ Demuestra que\na) la aplicación $ x\mapsto \frac{1}{x}\int_0^x f(t) dt $ es no decreciente en las restricciones $ \mathbb{R}_{<0 } $ y $ \mathbb{R}_{>0 } . $\nb) si $ \int_x^{x+1} f(t)dt=\int_{x-1}^x f(t)dt , $ para cualquier número real $ x, $ entonces $ f $ es constante.

Sea un número natural impar $ n\ge 3. $ Encuentra todas las funciones continuas $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisfacen las siguientes igualdades.\n$ \int_0^1 \left( f\left(\sqrt[k]{x}\right) \right)^{n-k} dx=k/n,\quad\forall k\in\{ 1,2,\ldots ,n-1\} $

a) Determina el centro del anillo de matrices cuadradas de ciertas dimensiones con elementos en un campo dado, y demuestra que es isomorfo al campo dado.\nb) Demuestra que\n$ \left(\mathcal{M}_n\left( \mathbb{R} \right) ,+, \cdot\right)\not\cong \left(\mathcal{M}_n\left( \mathbb{C} \right) ,+,\cdot\right) , $\npara cualquier número natural $ n\ge 2. $

Sea una matriz real $ 3\times 3 $ $ A. $ Demuestra las siguientes afirmaciones.\na) $ f(A)\neq O_3, $ para cualquier polinomio $ f\in\mathbb{R} [X] $ cuyas raíces no son reales.\nb) $ \exists n\in\mathbb{N}\quad \left( A+\text{adj} (A) \right)^{2n} =\left( A \right)^{2n} +\left( \text{adj} (A) \right)^{2n}\iff \text{det} (A)=0 $

Sean dos funciones $ f,g:\mathbb{R}_{\ge 0 }\longrightarrow\mathbb{R} $ que tienen las propiedades de que $ f $ es continua, $ g $ es no decreciente e ilimitada, y para cualquier secuencia de números racionales $ \left( x_n \right)_{n\ge 1} $ que diverge a $ \infty , $ tenemos\n$ 1=\lim_{n\to\infty } f\left( x_n \right) g\left( x_n \right) . $\nDemuestra que $1=\lim_{x\to\infty } f\left( x \right) g\left( x \right) . $

Sean ocho números reales $ 1\le a_1< a_2< a_3< a_4,x_1<x_2<x_3<x_4. $ Demuestra que\n$ \begin{vmatrix}a_1^{x_1} & a_1^{x_2} & a_1^{x_3} & a_1^{x_4} \\na_2^{x_1} & a_2^{x_2} & a_2^{x_3} & a_2^{x_4} \\na_3^{x_1} & a_3^{x_2} & a_3^{x_3} & a_3^{x_4} \\na_4^{x_1} & a_4^{x_2} & a_4^{x_3} & a_4^{x_4} \\n\end{vmatrix} >0. $

Encuentra el lugar geométrico de los puntos $ M $ que están situados en el plano donde se encuentra un rombo $ ABCD $ , y satisfacen:\n$ MA\cdot MC+MB\cdot MD=AB^2 $