$a)$ Se da un triángulo equilátero de lados $a$ y se construye un triángulo $MNP$ bajo las siguientes condiciones: $P\in (AB),M\in (BC),N\in (AC)$ , tal que $MP\perp AB,NM\perp BC$ y $PN\perp AC$ . Encuentra la longitud del segmento $MP$ . $b)$ Muestra que para cualquier triángulo acutángulo $ABC$ se pueden encontrar puntos $P\in (AB),M\in (BC),N\in (AC)$ tales que $MP\perp AB,NM\perp BC$ y $PN\perp AC$ .

Sea $ABCD$ un trapecio y $AB$ y $CD$ sus lados paralelos. Encuentra, con prueba, el conjunto de puntos interiores $P$ del trapecio que tienen la propiedad de que $P$ pertenece al menos a dos rectas, cada una intersectando los segmentos $AB$ y $CD$ y cada una dividiendo el trapecio en otros dos trapecios con áreas iguales.

Demuestra que cualquier número real $0<x<1$ puede escribirse como una diferencia de dos números irracionales positivos y menores que $1$.

Ocho jugadores de cartas están sentados alrededor de una mesa. Uno comenta que en algún momento, cualquier jugador y sus dos vecinos tienen en total un número impar de cartas ganadoras. Demuestra que cualquier jugador tiene en ese momento al menos una carta ganadora.

Considere dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ que tienen medias aritmética, geométrica y armónica enteras. Encuentre el valor mínimo de $|a-b|$.

Una pieza de cartón tiene la forma de un pentágono $ABCDE$ en el que $BCDE$ es un cuadrado y $ABE$ es un triángulo isósceles con un ángulo recto en $A$. Pruebe que el pentágono se puede dividir de dos maneras diferentes en tres partes que se pueden reorganizar para recomponer un triángulo rectángulo isósceles.

Sean $AB$ y $BC$ dos lados consecutivos de un polígono regular con 9 vértices inscritos en un círculo de centro $O$. Sea $M$ el punto medio de $AB$ y $N$ el punto medio del radio perpendicular a $BC$. Encuentre la medida del ángulo $\angle OMN$.

Sea $n>3$ un entero positivo. Considere $n$ conjuntos, cada uno con dos elementos, tales que la intersección de dos de ellos es un conjunto con un elemento. Pruebe que la intersección de todos los conjuntos no está vacía.

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos con $a+b+c=3$. Pruebe que \[ (3-2a)(3-2b)(3-2c) \leq a^2b^2c^2 . \]

Los enteros positivos del 1 al $n^2$ se colocan arbitrariamente en los $n^2$ cuadrados de un tablero de ajedrez de $n\times n$. Dos cuadrados se llaman adyacentes si tienen un lado común. Demuestre que dos cuadrados de esquinas opuestas pueden unirse mediante un camino de $2n-1$ cuadrados adyacentes de modo que la suma de los números colocados en ellos sea al menos $\left\lfloor \frac{n^3} 2 \right\rfloor + n^2 - n + 1$.