Dado un triángulo acutángulo $ ABC$ con $ \angle B > \angle C$ . El punto $ I$ es el incentro, y $ R$ el circunradio. El punto $ D$ es el pie de la altura desde el vértice $ A$ . El punto $ K$ se encuentra en la línea $ AD$ tal que $ AK = 2R$ , y $ D$ separa $ A$ y $ K$ . Las líneas $ DI$ y $ KI$ se encuentran con los lados $ AC$ y $ BC$ en $ E,F$ respectivamente. Sea $ IE = IF$ . Demuestra que $ \angle B\leq 3\angle C$ .

Determina el número real positivo más pequeño $ k$ con la siguiente propiedad. Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean los puntos $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ , y $ D_1$ que se encuentran en los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CD$ , y $ DA$ , respectivamente. Considera las áreas de los triángulos $ AA_1D_1$ , $ BB_1A_1$ , $ CC_1B_1$ y $ DD_1C_1$ ; sea $ S$ la suma de los dos más pequeños, y sea $ S_1$ el área del cuadrilátero $ A_1B_1C_1D_1$ . Entonces siempre tenemos $ kS_1\ge S$ .

Sea $ ABC$ un triángulo fijo, y sean $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sea $ P$ un punto variable en la circunferencia circunscrita. Sean las líneas $ PA_1$ , $ PB_1$ , $ PC_1$ que se encuentran con la circunferencia circunscrita de nuevo en $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ , respectivamente. Asume que los puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ son distintos, y las líneas $ AA'$ , $ BB'$ , $ CC'$ forman un triángulo. Demuestra que el área de este triángulo no depende de $ P$ .

Considera cinco puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ y $ E$ tales que $ ABCD$ es un paralelogramo y $ BCED$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ \ell$ una línea que pasa por $ A$ . Supón que $ \ell$ interseca el interior del segmento $ DC$ en $ F$ e interseca la línea $ BC$ en $ G$ . Supón también que $ EF = EG = EC$ . Demuestra que $ \ell$ es la bisectriz del ángulo $ DAB$ .

Las diagonales de un trapecio $ ABCD$ se intersecan en el punto $ P$ . El punto $ Q$ se encuentra entre las líneas paralelas $ BC$ y $ AD$ tal que $ \angle AQD = \angle CQB$ , y la línea $ CD$ separa los puntos $ P$ y $ Q$ . Demuestra que $ \angle BQP = \angle DAQ$ .

Denotemos por $ M$ el punto medio del lado $ BC$ en un triángulo isósceles $ \triangle ABC$ con $ AC = AB$. Tomemos un punto $ X$ en el arco menor $ \overarc{MA}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ \triangle ABM$. Denotemos por $ T$ un punto dentro del ángulo $ BMA$ tal que $ \angle TMX = 90$ y $ TX = BX$. Demuestre que $ \angle MTB - \angle CTM$ no depende de la elección de $ X$.

En el triángulo $ ABC$, la bisectriz del ángulo $ BCA$ interseca de nuevo a la circunferencia circunscrita en $ R$, la mediatriz de $ BC$ en $ P$ y la mediatriz de $ AC$ en $ Q$. El punto medio de $ BC$ es $ K$ y el punto medio de $ AC$ es $ L$. Demuestre que los triángulos $ RPK$ y $ RQL$ tienen la misma área.

Se da un polígono convexo $ P$ con $ n$ vértices. Un triángulo cuyos vértices se encuentran en los vértices de $ P$ se llama bueno si todos sus lados tienen longitud unitaria. Demuestre que hay como máximo $ \frac {2n}{3}$ triángulos buenos.

Sea $ \alpha < \frac {3 - \sqrt {5}}{2}$ un número real positivo. Demuestre que existen enteros positivos $ n$ y $ p > \alpha \cdot 2^n$ para los cuales se pueden seleccionar $ 2 \cdot p$ subconjuntos distintos $ S_1, \ldots, S_p, T_1, \ldots, T_p$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ tal que $ S_i \cap T_j \neq \emptyset$ para todo $ 1 \leq i,j \leq p$.

En una competencia matemática algunos competidores son amigos. La amistad es siempre mutua. Llame a un grupo de competidores una camarilla si cada dos de ellos son amigos. (En particular, cualquier grupo de menos de dos competidores es una camarilla.) El número de miembros de una camarilla se llama su tamaño. Dado que, en esta competencia, el tamaño más grande de una camarilla es par, demuestre que los competidores pueden ser organizados en dos habitaciones tales que el tamaño más grande de una camarilla contenida en una habitación es el mismo que el tamaño más grande de una camarilla contenida en la otra habitación.