En el plano de coordenadas cartesianas, defina las franjas $ S_n = \{(x,y)|n\le x < n + 1\}$ , $ n\in\mathbb{Z}$ y coloree cada franja de negro o blanco. Demuestre que cualquier rectángulo que no sea un cuadrado puede ser colocado en el plano de manera que sus vértices tengan el mismo color. En el plano de coordenadas cartesianas defina las franjas $ S_n = \{(x,y)|n\le x < n + 1\}$ para cada entero $ n.$ Asuma que cada franja $ S_n$ está coloreada ya sea de rojo o azul, y sea $ a$ y $ b$ dos enteros positivos distintos. Demuestre que existe un rectángulo con lados de longitud $ a$ y $ b$ tal que sus vértices tengan el mismo color.

Sea $ A_0 = (a_1,\dots,a_n)$ una secuencia finita de números reales. Para cada $ k\geq 0$ , desde la secuencia $ A_k = (x_1,\dots,x_k)$ construimos una nueva secuencia $ A_{k + 1}$ de la siguiente manera. 1. Elegimos una partición $ \{1,\dots,n\} = I\cup J$ , donde $ I$ y $ J$ son dos conjuntos disjuntos, tal que la expresión \[ \left|\sum_{i\in I}x_i - \sum_{j\in J}x_j\right| \] alcanza el valor más pequeño. (Permitimos que $ I$ o $ J$ estén vacíos; en este caso la suma correspondiente es 0.) Si hay varias de tales particiones, una es elegida arbitrariamente. 2. Establecemos $ A_{k + 1} = (y_1,\dots,y_n)$ donde $ y_i = x_i + 1$ si $ i\in I$ , y $ y_i = x_i - 1$ si $ i\in J$ . Demostrar que para algún $ k$ , la secuencia $ A_k$ contiene un elemento $ x$ tal que $ |x|\geq\frac n2$ .

Encontrar todos los enteros positivos $ n$ para los cuales los números en el conjunto $ S = \{1,2, \ldots,n \}$ pueden ser coloreados rojo y azul, con la siguiente condición siendo satisfecha: El conjunto $ S \times S \times S$ contiene exactamente $ 2007$ ternas ordenadas $ \left(x, y, z\right)$ tales que: (i) los números $ x$ , $ y$ , $ z$ son del mismo color, y (ii) el número $ x + y + z$ es divisible por $ n$ .

Un rectángulo $ D$ es particionado en varios ( $ \ge2$ ) rectángulos con lados paralelos a aquellos de $ D$ . Dado que cualquier línea paralela a uno de los lados de $ D$ , y teniendo puntos en común con el interior de $ D$ , también tiene puntos interiores en común con el interior de al menos un rectángulo de la partición; demostrar que hay al menos un rectángulo de la partición que no tiene puntos en común con la frontera de $ D$ .

Sea $ n$ un entero positivo. Considere \[ S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \right \} \] como un conjunto de $ (n + 1)^{3} - 1$ puntos en el espacio tridimensional. Determine el menor número posible de planos, cuya unión contiene $ S$ pero no incluye $ (0,0,0)$ .

Sean $ a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ números reales no negativos tales que $ a^2_1 + a^2_2 + \ldots + a^2_{100} = 1.$ Pruebe que \[ a^2_1 \cdot a_2 + a^2_2 \cdot a_3 + \ldots + a^2_{100} \cdot a_1 < \frac {12}{25}. \]

Sea $ c > 2,$ y sea $ a(1), a(2), \ldots$ una secuencia de números reales no negativos tal que \[ a(m + n) \leq 2 \cdot a(m) + 2 \cdot a(n) \text{ para todo } m,n \geq 1, \] y $ a\left(2^k \right) \leq \frac {1}{(k + 1)^c} \text{ para todo } k \geq 0.$ Pruebe que la secuencia $ a(n)$ está acotada.

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{ + }\to\mathbb{R}^{ + }$ que satisfacen $ f\left(x + f\left(y\right)\right) = f\left(x + y\right) + f\left(y\right)$ para todos los pares de números reales positivos $ x$ e $ y$ . Aquí, $ \mathbb{R}^{ + }$ denota el conjunto de todos los reales positivos.

Sea $ n$ un entero positivo, y sean $ x$ e $ y$ números reales positivos tales que $ x^n + y^n = 1.$ Demuestra que \[ \left(\sum^n_{k = 1} \frac {1 + x^{2k}}{1 + x^{4k}} \right) \cdot \left( \sum^n_{k = 1} \frac {1 + y^{2k}}{1 + y^{4k}} \right) < \frac {1}{(1 - x) \cdot (1 - y)}.

Considera aquellas funciones $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisfacen la condición \[ f(m + n) \geq f(m) + f(f(n)) - 1 \] para todos los $ m,n \in \mathbb{N}.$ Encuentra todos los valores posibles de $ f(2007).$