Se da un entero positivo $c$. La secuencia $\{p_{k}\}$ se construye según la siguiente regla: $p_{1}$ es un primo arbitrario y para $k\geq 1$ el número $p_{k+1}$ es cualquier divisor primo de $p_{k}+c$ no presente entre los números $p_{1}$ , $p_{2}$ , $\dots$ , $p_{k}$ . Demuestre que la secuencia $\{p_{k}\}$ no puede ser infinita.

Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0<a<b<c<d$ y $ad=bc$ . Demostrar que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ , entonces $a=1$.

Los lados opuestos del hexágono reentrante $AFBDCE$ se intersectan en los puntos $K,L,M$ (como se muestra en la figura). Se da que $AL = AM = a, BM = BK = b$ , $CK = CL = c, LD = DM = d, ME = EK = e, FK = FL = f$ . \n(a) Dada la longitud $a$ y los tres ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ en los vértices $A, B,$ y $C,$ respectivamente, satisfaciendo la condición $\alpha+\beta+\gamma<180^{\circ}$ , demuestre que todos los ángulos y lados del hexágono están unívocamente determinados. \n(b) Pruebe que \[\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\] \nVersión más fácil de $(b)$ . Pruebe que \n\[(a + f)(b + d)(c + e)= (a + e)(b + f)(c + d)\]

Dado un polígono regular convexo de $2m$ lados $P$ , demuestre que existe un polígono de $2m$ lados $\pi$ con los mismos vértices que $P$ (pero en un orden diferente) tal que $\pi$ tiene exactamente un par de lados paralelos.

La fracción $\frac{3}{10}$ puede ser escrita como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ de la siguiente manera: $\frac{3}{10} =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$ y también $\frac{3}{10}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ . Esas son las únicas dos formas en las que esto se puede hacer. ¿De cuántas formas se puede escribir $\frac{3}{1984}$ como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$? ¿Existe un entero positivo $n,$ no divisible por $3$ , tal que $\frac{3}{n}$ puede ser escrito como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ en exactamente $1984$ formas?

Sean $x, y, z > -1$ . Demuestra que\n\[ \frac{1+x^2}{1+y+z^2} + \frac{1+y^2}{1+z+x^2} + \frac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2. \]

Se elige un punto $P$ dentro de un triángulo $ABC$ con circuncírculo $\Omega$. Sea $\Gamma$ el círculo que pasa por los circuncentros de los triángulos $APB$, $BPC$ y $CPA$. Sean $\Omega$ y $\Gamma$ se intersecan en los puntos $X$ e $Y$. Sea $Q$ la reflexión de $P$ en la recta $XY$. Demuestre que $\angle BAP = \angle CAQ$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $DA$ y $BC$ se intersecan en $E$ y sean $AB$ y $CD$ se intersecan en $F$. Asuma que $A, E, F$ yacen en el mismo lado de $BD$. Sea $P$ en el segmento $DA$ tal que $\angle CPD = \angle CBP$, y sea $Q$ en el segmento $CD$ tal que $\angle DQA = \angle QBA$. Sean $AC$ y $PQ$ se intersecan en $X$. Demuestre que, si $EX = EP$, entonces $EF$ es perpendicular a $AC$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $ADI$ cruza $\omega$ de nuevo en $P$, y las rectas $PE$ y $PF$ cruzan $\omega$ de nuevo en $X$ y $Y$, respectivamente. Demuestre que las rectas $AI$, $BX$ y $CY$ son concurrentes.

Para enteros positivos $m,n \geq 2$, sea $S_{m,n} = \{(i,j): i \in \{1,2,\ldots,m\}, j\in \{1,2,\ldots,n\}\}$ una cuadrícula de $mn$ puntos reticulares en el plano coordenado. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales existe un polígono simple $P$ con vértices en $S_{m,n}$ tal que todos los puntos en $S_{m,n}$ están en la frontera de $P$, todos los ángulos interiores de $P$ son o bien $90^{\circ}$ o $270^{\circ}$ y todas las longitudes de los lados de $P$ son $1$ o $3$.