4 Considere un tablero de $2025\times 2025$ donde identificamos las casillas con pares $(i,j)$ donde $i$ y $j$ denotan el número de fila y columna de dicha casilla, respectivamente. Calvin elige dos enteros positivos $a,b<2025$ y coloca un peón en la esquina inferior izquierda (es decir, en $(1,1)$) y realiza los siguientes movimientos. En su $k$-ésimo movimiento, mueve el peón de $(i,j)$ a $(i+a,j)$ o $(i,j+a)$ si $k$ es impar, y a $(i+b,j)$ o $(i,j+b)$ si $k$ es par. Aquí todos los números se toman módulo $2025$. Encuentre el número de pares $(a,b)$ que Calvin pudo haber elegido de tal manera que pueda realizar movimientos para que el peón cubra todas las casillas del tablero sin estar en ninguna casilla dos veces. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu Rijul

5 Sean $a_1,a_2,...,a_k$ enteros positivos, y sea $P$ su producto. Considere la ecuación $$n= \left \lceil \frac{n}{a_1} \right\rceil + \left\lceil \frac{n}{a_2} \right\rceil + \cdots + \left\lceil \frac{n}{a_k} \right\rceil.$$ Suponga que la ecuación tiene estrictamente más de $\frac{P}{2}$ soluciones en enteros positivos $n$. Demuestre que tiene al menos $P$ soluciones en enteros no negativos $n$. Propuesto por Shantanu Nene Rijul

6 En el instante $t=0$, Hobbes escribe números reales positivos en los vértices de un polígono regular $P_1P_2\dots P_n$. Suponga que después de un número par de segundos, los números $x$ e $y$ están escritos en $P_i$ y $P_{i+1}$ respectivamente. Entonces, un segundo después, Hobbes actualiza el número en $P_i$ a $x+\frac{1}{y}$. Aquí $i$ se toma módulo $n$. ¿Para qué pares $(i,j)$ (en términos de $n$) podemos garantizar (sin saber qué escribió Hobbes) que en algún momento el número en $P_i$ es al menos tan grande como el número en $P_j$? Nota. Todos los números se actualizan solo cuando ha pasado un número impar de segundos. Si todos los números fueran inicialmente $1$, entonces después de $1$ segundo todos se actualizarían a $2$, luego en $T=3s$, todos se actualizarían a $2.5$ y así sucesivamente. Propuesto por Pranjal Srivastava Rijul

7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB<AC$. Sea $T(\ne B,C, H)$ cualquier otro punto en el arco $\stackrel{\LARGE\frown}{BHC}$ del circuncírculo de $BHC$ y sea la recta $BT$ que interseca a la recta $AC$ en $E(\ne A)$ y sea la recta $CT$ que interseca a la recta $AB$ en $F(\ne A)$. Sean los circuncírculos de $AEF$ y $ABC$ que se intersecan de nuevo en $X$ ($\ne A$). Sean las rectas $XE,XF,XT$ que intersecan al circuncírculo de $(ABC)$ de nuevo en $P,Q,R$ ($\ne X$). Demuestre que las rectas $AR,BC,PQ$ son concurrentes. Rijul

8 Sea $S$ el conjunto de todas las funciones no decrecientes $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen $f(f(n))<n+50$ para todo entero positivo $n$. Encuentre el valor máximo de $$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2024)+f(2025)$$ sobre todas las $f \in S$. Propuesto por Shantanu Nene Rijul

9 Sea $n$ un entero positivo. Alice y Bob juegan al siguiente juego. Alice considera una permutación $\pi$ del conjunto $[n]=\{1,2, \dots, n\}$ y la mantiene oculta de Bob. En un movimiento, Bob le dice a Alice una permutación $\tau$ de $[n]$, y Alice le dice a Bob si existe un $i \in [n]$ tal que $\tau(i)=\pi(i)$. Bob gana si en algún momento le dice a Alice la permutación $\pi$. Demuestre que Bob puede ganar el juego en a lo sumo $n \log_2(n) + 2025n$ movimientos. Propuesto por Siddharth Choppara y Shantanu Nene Rijul

10 Sea $k>2$ un entero. Llamamos a un par de enteros $(a,b)$ $k-$bueno si \[0\leqslant a<k,\hspace{0.2cm} 0<b \hspace{1cm} \text{y} \hspace{1cm} (a+b)^2=ka+b\] Demuestre que el número de pares $k-$buenos es una potencia de $2$. Propuesto por Prithwijit De y Rohan Goyal Rijul

11 ¿Existe una función $f:\{1,2,...,2025\}^2 \rightarrow \{1,2,...,2025\}$ tal que: $\bullet$ para todo entero positivo $i \leqslant 2025$, los números $f(i,1),f(i,2),...,f(i,2025)$ son todos distintos, y $\bullet$ para cualesquiera enteros positivos $i \leqslant 2025$ y $j \leqslant 2024$, $f(f(i,j),f(i,j+1))=i$? Propuesto por Shantanu Nene Rijul

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $T$ la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a $\Gamma$. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $TBC$ y sean $M(\neq T)$ y $N(\neq T)$ las segundas intersecciones de $TA$ y $TD$ con $\omega$, respectivamente. Sean $AD$ y $BC$ rectas que se cortan en $E$ y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $EMN$. Si $AD$ corta a $\Omega$ nuevamente en $X \neq E$, demuestre que la recta tangente a $\Omega$ en $X$ es también tangente a $\omega$. Propuesto por Malay Mahajan y Siddharth Choppara Rijul

13 Sean $a, b, c, d$ enteros positivos, y $x_0, x_1, x_2, \cdots$ una sucesión de enteros positivos tal que $x_{n+3} = a x_{n+2} + b x_{n+1} + c x_{n} + d$ para todo $n\geqslant 0$. Si existen $2025$ términos consecutivos en la sucesión que son todos primos, entonces demuestre que $x_3 > 16$. Propuesto por Mainak Ghosh y Rijul Saini.