Dos segmentos $AB$ y $CD$ de longitud $1$ se cortan en el punto $O$ y el ángulo $AOC$ es igual a sesenta grados. Demuestre que $AC+BD \ge 1$. Amir

2 Defina los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera: \[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \] Demuestre que \[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]

4 Dado un triángulo $ABC$, sea $D$ la intersección de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AB$ y la recta que pasa por $B$ perpendicular a $BC$. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo. Demuestre que $DAPB$ es cíclico si y solo si $\angle BAP = \angle CBP$.

5 Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ números reales no nulos y distintos entre sí tales que $$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} = 4 \text{ y } ac = bd. $$ Demuestre que $$ \frac{a}{c} + \frac{b}{d} + \frac{c}{a} + \frac{d}{b} \leq -12 $$ y que $-12$ es el máximo.

1 Sean $\alpha, \beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La mediatriz de $AB$ corta a $BC$ en el punto $X$, y la mediatriz de $AC$ corta a $BC$ en el punto $Y$. Demuestre que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC= XY$ (o en otras palabras: demuestre que una condición suficiente para que $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$). Demuestre que esta condición no es necesaria, y proporcione una condición necesaria y suficiente para que $BC = XY$.

6 Un círculo está dividido en $n$ sectores ($n \geq 3$). Cada sector puede ser llenado con $1$ o $0$. Elija cualquier sector $\mathcal{C}$ ocupado por un $0$, cámbielo por un $1$ y simultáneamente cambie los símbolos $x, y$ en los dos sectores adyacentes a $\mathcal{C}$ por sus complementos $1-x$, $1-y$. Repetimos este proceso mientras exista un cero en algún sector. En la configuración inicial hay un $0$ en un sector y $1$s en los demás. ¿Para qué valores de $n$ podemos terminar este proceso?

8 Sea la pirámide $ABCD$. Sea $O$ el punto medio de la arista $AC$. Dado que $DO$ es la altura de la pirámide, $AB=BC=2DO$ y el ángulo $ABC$ es recto. Corte esta pirámide en $8$ pirámides iguales y semejantes a ella.

7 Se consideran todas las sucesiones posibles de números $-1$ y $+1$ de longitud $100$. Para cada una de ellas, se calcula el cuadrado de la suma de sus términos. Encuentre el promedio aritmético de los valores resultantes.

6 Demuestre que la sucesión de los primeros dígitos de los números de la forma $2^n+3^n$ no es periódica.

5 Un triángulo rectángulo está inscrito en la parábola $y=x^2$. Demuestre que su hipotenusa no es menor que $2$.