14 Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo entero positivo $n>N$, se pueden colocar $n$ puntos en el plano de manera que: • No haya tres puntos colineales. • Haya a lo sumo $0.01 n^3$ formas de elegir tres de los $n$ puntos tales que el triángulo formado por ellos contenga a lo sumo $n^{0.99}$ puntos. Propuesto por Bhavya Tiwari y Shantanu Nene Rijul

15 Sea $\triangle ABC$ un triángulo escaleno con alturas $BE, CF$, circuncentro $O$ y ortocentro $H$. Sea $R$ un punto en la recta $AO$. Los puntos $P, Q$ están en las rectas $AB, AC$ respectivamente, tales que $RE \perp EP$ y $RF \perp FQ$. Demuestre que $PQ$ es perpendicular a $RH$. Propuesto por Rijul Saini.

10 Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes (externa o internamente) en un punto $P$. La recta $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta al otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demuestre que la recta $PA$ es una bisectriz interior o exterior del ángulo $\angle BPC$.

16 En una entrevista de trabajo, a los candidatos se les hacen preguntas en una secuencia. La puntuación inicial es $0$. La puntuación del candidato se calcula de la siguiente manera: $\bullet$ después de una respuesta correcta, la puntuación aumenta en $1$; $\bullet$ después de una respuesta incorrecta, la puntuación se divide por $2$. Si al candidato se le hacen $n$ preguntas y responde a todas ellas, ¿cuántas puntuaciones diferentes son posibles? Nota: Dos secuencias de respuestas diferentes de la misma longitud pueden resultar en la misma puntuación: las secuencias $RRW$ y $WWR$ de la misma longitud, donde $R$ denota la respuesta correcta y $W$ denota la respuesta incorrecta, ambas resultan en la misma puntuación de 1. Propuesto por S. Muralidharan Rijul

17 Sea $n$ un número natural. Definimos una sucesión $(a_i)_{i \geqslant 1}$ de la siguiente manera: $a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=4,$ y $a_5=n$, y $$a_{i+5} = \frac{\left(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}\right)}{5}$$ para todo $i \geqslant 1$. Encuentre todos los valores posibles de $n$ para los cuales se cumple lo siguiente: dado cualquier número natural $N$, existen números naturales $r>N, s>N$ tales que $a_r<2025<a_s$. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu Rijul

18 Suponga que el grimorio de Alice tiene el número $1$ escrito en la primera página y $n$ páginas vacías. Suponga que en cada uno de los siguientes $n$ segundos, Alice puede pasar a la página siguiente y escribir la suma o el producto de dos números (posiblemente iguales) que ya estén escritos en su grimorio. Sea $F(n)$ el número más grande posible tal que para todo $k < F(n)$, Alice pueda escribir el número $k$ en la última página de su grimorio. Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo $n>N$, tenemos que \[n^{0.99n}\leqslant F(n)\leqslant n^{1.01n}.\] Propuesto por Rohan Goyal y Pranjal Srivastava Rijul

9 Sea $p$ un número primo. Demuestre que no existe ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse de la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.

19 Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de todos los números reales. Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(xy) + f(f(y)) = f((x + 1)f(y))$$ para todos los números reales $x$ , $y$ . Propuesto por MV Adhitya y Kanav Talwar Rijul

8 Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$. En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB]$, $[BC]$ y $[AC]$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos corta al tercer círculo en $E$. Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$. Evalúe la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ en función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$.

7 La función $f$ está definida sobre el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$. Determine $f$.