Para un número real $x$ , sea $[x]$ denote el mayor entero que no excede a $x$ . Si $m \ge 3$ , pruebe que \n\[\left[\frac{m(m+1)}{2(2m-1)}\right]=\left[\frac{m+1}{4}\right]\]

Dado un triángulo $ABC$ , tres triángulos equiláteros $AEB, BFC$ , y $CGA$ son construidos en el exterior de $ABC$ . Pruebe que: \n(a) $CE = AF = BG$ ; \n(b) $CE, AF$ , y $BG$ tienen un punto en común.

Los lados opuestos del hexágono reentrante $AFBDCE$ se intersectan en los puntos $K,L,M$ (como se muestra en la figura). Se da que $AL = AM = a, BM = BK = b$ , $CK = CL = c, LD = DM = d, ME = EK = e, FK = FL = f$ . \n(a) Dada la longitud $a$ y los tres ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ en los vértices $A, B,$ y $C,$ respectivamente, satisfaciendo la condición $\alpha+\beta+\gamma<180^{\circ}$ , demuestre que todos los ángulos y lados del hexágono están unívocamente determinados. \n(b) Pruebe que \[\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\] \nVersión más fácil de $(b)$ . Pruebe que \n\[(a + f)(b + d)(c + e)= (a + e)(b + f)(c + d)\]

Dado un polígono regular convexo de $2m$ lados $P$ , demuestre que existe un polígono de $2m$ lados $\pi$ con los mismos vértices que $P$ (pero en un orden diferente) tal que $\pi$ tiene exactamente un par de lados paralelos.

La fracción $\frac{3}{10}$ puede ser escrita como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ de la siguiente manera: $\frac{3}{10} =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$ y también $\frac{3}{10}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ . Esas son las únicas dos formas en las que esto se puede hacer. ¿De cuántas formas se puede escribir $\frac{3}{1984}$ como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$? ¿Existe un entero positivo $n,$ no divisible por $3$ , tal que $\frac{3}{n}$ puede ser escrito como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ en exactamente $1984$ formas?

Sean $x,y,z$ y $a,b,c$ números reales positivos con $a+b+c=1$ . Pruebe que $$\left(x^2+y^2+z^2\right) \left( \frac{a^3}{x^2+2y^2} + \frac{b^3}{y^2+2z^2} + \frac{c^3}{z^2+2x^2} \right) \ge\frac19.$$

Un conjunto $S$ de enteros es Balear, si hay dos elementos (no necesariamente distintos) $s,s'\in S$ cuya suma $s+s'$ es una potencia de dos; de lo contrario, se llama un conjunto no Balear. Encuentre un entero $n$ tal que $\{1,2,\ldots,n\}$ contiene un conjunto no balear de 99 elementos, mientras que todos los subconjuntos de 100 elementos son baleares.

Determine el entero más pequeño $n$ para el cual existen enteros $x_1,\ldots,x_n$ y enteros positivos $a_1,\ldots,a_n$ tales que \n\begin{align*}\nx_1+\cdots+x_n &=0,\\\na_1x_1+\cdots+a_nx_n&>0, \text{ y }\\\na_1^2x_1+\cdots+a_n^2x_n &<0.\n\end{align*}

Sea $ABC$ un triángulo equilátero, y sea $P$ algún punto en su circuncírculo. Determine todos los enteros positivos $n$ , para los cuales el valor de la suma $S_n (P) = |PA|^n + |PB|^n + |PC|^n$ es independiente de la elección del punto $P$ .

Sean $x, y, z > -1$ . Demuestra que\n\[ \frac{1+x^2}{1+y+z^2} + \frac{1+y^2}{1+z+x^2} + \frac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2. \]