Nueve veintisiete cubos unitarios se pintan de naranja en un conjunto de cuatro caras, de modo que dos caras no pintadas comparten una arista. Los $27$ cubos se ordenan aleatoriamente para formar un cubo de $3\times 3 \times 3$. Dado que la probabilidad de que toda el área de la superficie del cubo más grande sea naranja es $\frac{p^a}{q^br^c},$ donde $p$, $q$ y $r$ son primos distintos y $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos, encuentra $a+b+c+p+q+r$.

10 El triángulo $ABC$ se encuentra en el plano cartesiano y tiene un área de 70. Las coordenadas de $B$ y $C$ son $(12,19)$ y $(23,20)$, respectivamente, y las coordenadas de $A$ son $(p,q)$. La recta que contiene la mediana hacia el lado $BC$ tiene pendiente $-5$. Encuentra el mayor valor posible de $p+q$.

11 Sea $m$ un entero positivo, y sea $a_0, a_1,\ldots,a_m$ una sucesión de números reales tal que $a_0=37$, $a_1=72$, $a_m=0$, y \[a_{k+1}=a_{k-1}-\frac{3}{a_k}\] para $k=1,2, \dots, m-1$. Encuentra $m$.

Para enteros positivos \(n\), sea \(\tau(n)\) el número de divisores enteros positivos de \(n\), incluyendo \(1\) y \(n\). Por ejemplo, \(\tau(1)=1\) y \(\tau(6)=4\). Define \(S(n)\) como \[ S(n)=\tau(1)+ \tau(2) + ... + \tau(n). \] Sea \(a\) el número de enteros positivos \(n \leq 2005\) con \(S(n)\) impar, y sea \(b\) el número de enteros positivos \(n \leq 2005\) con \(S(n)\) par. Encuentra \(|a-b|\).

3 3. Llamemos regular a una tarjeta bi-cuadrada $2 \times 1$ si en ella están escritos dos enteros positivos y el número de la casilla superior es menor que el número de la casilla inferior. En cada movimiento se permite cambiar ambos números de la siguiente manera: o bien sumar el mismo entero (posiblemente negativo) a ambos números, o bien multiplicar cada número por el mismo entero positivo, o bien dividir cada número por el mismo entero positivo. La tarjeta debe permanecer regular después de cualquier cambio realizado. ¿Cuál es el número mínimo de movimientos suficiente para obtener cualquier tarjeta regular a partir de cualquier otra tarjeta regular? Alexey Glebov

14 En el triángulo \(ABC\), \(AB=13\), \(BC=15\) y \(CA=14\). El punto \(D\) está sobre \(\overline{BC}\) con \(CD=6\). El punto \(E\) está sobre \(\overline{BC}\) tal que \(\angle BAE\cong \angle CAD\). Dado que \(BE=\frac pq\) donde \(p\) y \(q\) son enteros positivos primos relativos, encuentra \(q\).

2 Un frasco tiene 10 dulces rojos y 10 dulces azules. Terry elige dos dulces al azar, luego Mary elige dos de los dulces restantes al azar. Dado que la probabilidad de que obtengan la misma combinación de colores, sin importar el orden, es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$.

Una cuerda de un círculo es perpendicular a un radio en el punto medio del radio. La razón entre el área de la región más grande de las dos en que la cuerda divide al círculo y la más pequeña se puede expresar en la forma $\frac{a\pi+b\sqrt{c}}{d\pi-e\sqrt{f}}$, donde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ y $f$ son enteros positivos, $a$ y $e$ son primos relativos, y ni $c$ ni $f$ son divisibles por el cuadrado de ningún primo. Encuentra el residuo cuando el producto $abcdef$ se divide entre 1000.

15 Sean \( w_{1} \) y \( w_{2} \) los círculos \( x^{2}+y^{2}+10x-24y-87=0 \) y \( x^{2}+y^{2}-10x-24y+153=0 \), respectivamente. Sea \( m \) el menor valor positivo de \( a \) para el cual la recta \( y=ax \) contiene el centro de un círculo que es tangente externamente a \( w_{2} \) e internamente a \( w_{1} \). Dado que \( m^{2}=p/q \), donde \( p \) y \( q \) son enteros primos relativos, encuentra \( p+q \).

Un poliedro convexo \(P\) tiene 26 vértices, 60 aristas y 36 caras, de las cuales 24 son triangulares y 12 son cuadriláteras. Una diagonal espacial es un segmento de recta que conecta dos vértices no adyacentes que no pertenecen a la misma cara. ¿Cuántas diagonales espaciales tiene \(P\)?