Sea $ABC$ un triángulo isósceles con base $AB$ . Se construye una semicircunferencia $\Gamma$ con su centro en el segmento AB y que es tangente a los dos catetos, $AC$ y $BC$ . Considera una línea tangente a $\Gamma$ que corta los segmentos $AC$ y $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. La línea perpendicular a $AC$ en $D$ y la línea perpendicular a $BC$ en $E$ se intersecan en $P$ . Sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $AB$ . Muestra que $\frac{PQ}{CP}=\frac{1}{2}\frac{AB}{AC}$ .

¿Cuál es el mayor número de celdas que se pueden colorear en una tabla de $7\times7$ de tal manera que cualquier subtabla de $2\times2$ tenga a lo sumo 2 celdas coloreadas?

Dos amigos $A$ y $B$ deben resolver el siguiente acertijo. Cada uno de ellos recibe un número del conjunto $\{1,2,…,250\}$ , pero no ven el número que el otro recibió. El objetivo de cada amigo es descubrir el número del otro amigo. El procedimiento es el siguiente: cada amigo, por turnos, anuncia varios enteros positivos no necesariamente distintos: primero $A$ dice un número, luego $B$ dice uno, $A$ dice un número de nuevo, etc., de tal manera que la suma de todos los números dichos es $20$ . Demuestra que existe una estrategia que $A$ y $B$ han acordado previamente tal que puedan alcanzar el objetivo, sin importar qué número cada uno recibió al principio del acertijo.

Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ . Sean $X$ , $Y$ , y $Z$ puntos en los lados $BC$ , $AC$ , y $AB$ respectivamente, tales que $<PXC=<PYA=<PZB$ . Sean $U$ , $V$ , y $W$ puntos en los lados $BC$ , $AC$ , y $AB$ , respectivamente, o en sus extensiones si es necesario, con $X$ entre $B$ y $U$ , $Y$ entre $C$ y $V$ , y $Z$ entre $A$ y $W$ , tales que $PU=2PX$ , $PV=2PY$ , y $PW=2PZ$ . Si el área del triángulo $XYZ$ es $1$ , encuentra el área del triángulo $UVW$ .

Definimos $I(n)$ como el resultado cuando los dígitos de $n$ se invierten. Por ejemplo, $I(123)=321$ , $I(2008)=8002$ . Encuentra todos los enteros $n$ , $1\leq{n}\leq10000$ para los cuales $I(n)=\lceil{\frac{n}{2}}\rceil$ . Nota: $\lceil{x}\rceil$ denota el entero más pequeño mayor o igual a $x$ . Por ejemplo, $\lceil{2.1}\rceil=3$ , $\lceil{3.9}\rceil=4$ , $\lceil{7}\rceil=7$ .

Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo equilátero con altura $1$ , y sean $x,y,z$ las distancias desde $P$ a los tres lados del triángulo. Demuestre que \[ x^2+y^2+z^2 ~\ge~ x^3+y^3+z^3 +6xyz \]

Demuestre que existen infinitos enteros positivos $x,y,z$ para los cuales la suma de los dígitos en la representación decimal de $~4x^4+y^4-z^2+4xyz$ $~$ es como máximo $2$ .

Sean $m_1<m_2<\cdots<m_s$ una secuencia de $s\ge2$ enteros positivos, ninguno de los cuales puede escribirse como la suma de (dos o más) otros números distintos en la secuencia. Para cada entero $r$ con $1\le r<s$ , demuestre que \[ r\cdot m_r+m_s ~\ge~ (r+1)(s-1). \]

Sea $\Delta ABC$ un triángulo con ángulo $\angle CAB=60^{\circ}$ , sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ y el lado $BC$ , y sean $r_B,r_C,r$ los radios respectivos de las circunferencias inscritas de $ABD$ , $ADC$ , $ABC$ . Sean $b$ y $c$ las longitudes de los lados $AC$ y $AB$ del triángulo. Demuestra que \[ \frac{1}{r_B} +\frac{1}{r_C} ~=~ 2\cdot\left( \frac1r +\frac1b +\frac1c\right)\]

Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0<a<b<c<d$ y $ad=bc$ . Demostrar que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ , entonces $a=1$.