Sea $f:[0,1]\to\mathbb R$ una función creciente dos veces continuamente derivable. Defina las sucesiones dadas por $L_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac kn\right)$ y $U_n=\frac1n\sum_{k=0}^nf\left(\frac kn\right)$ , $n\ge1$ . 1. El intervalo $[L_n,U_n]$ se divide en tres segmentos iguales. Demuestre que, para $n$ suficientemente grande, el número $I=\int^1_0f(x)\text dx$ pertenece al segmento central de estos tres segmentos.

Sea $A=(a_{ij})$ la matriz $n\times n$, donde $a_{ij}$ es el resto de la división de $i^j+j^i$ entre $3$ para $i,j=1,2,\ldots,n$ . Halle el mayor $n$ para el cual $\det A\ne0$ .

Sea $a_n>0$ , $n\ge1$ . Considere los triángulos rectángulos $\triangle A_0A_1A_2$ , $\triangle A_0A_2A_3,\ldots$ , $\triangle A_0A_{n-1}A_n,\ldots,$ como en la figura. (Más precisamente, para todo $n\ge2$ la hipotenusa $A_0A_n$ de $\triangle A_0A_{n-1}A_n$ es un cateto de $\triangle A_0A_nA_{n+1}$ con ángulo recto $\angle A_0A_nA_{n+1}$ , y los vértices $A_{n-1}$ y $A_{n+1}$ se encuentran en lados opuestos de la recta $A_0A_n$ ; además, $|A_{n-1}A_n|=a_n$ para todo $n\ge1$ . ) https://services.artofproblemsolving.com/download.php?id=YXR0YWNobWVudHMvYi8yL2M1ZjAxM2I1ZWU0N2E4MzQyYWIzNmQ5OGM3NjJlZjljODdmMTliLnBuZw==&rn=U0VFTU9VUyAyMDEyLnBuZw== ¿Es posible que el conjunto de puntos $\{A_n\mid n\ge0\}$ sea no acotado pero que la serie $\sum_{n=2}^\infty m\angle A_{n-1}A_0A_n$ sea convergente? Nota. Un subconjunto $B$ del plano es acotado si y solo si existe un disco $D$ tal que $B\subseteq D$ .

a) Demuestre que si $k$ es un entero positivo par y $A$ es una matriz simétrica real $n\times n$ tal que $\operatorname{tr}(A^k)^{k+1}=\operatorname{tr}(A^{k+1})^k$ , entonces $$A^n=\operatorname{tr}(A)A^{n-1}.$$ b) ¿La afirmación del inciso a) también es válida para enteros positivos impares $k$ ?

a) Calcule $$\lim_{n\to\infty}n\int^1_0\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^ndx.$$ b) Sea $k\ge1$ un entero. Calcule $$\lim_{n\to\infty}n^{k+1}\int^1_0\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^nx^kdx.$$

Halle todas las funciones continuas $f:[1,8]\to\mathbb R$ , tales que $$\int^2_1f(t^3)^2dt+2\int^2_1f(t^3)dt=\frac23\int^8_1f(t)dt-\int^2_1(t^2-1)^2dt.$$

Sean $M,N\in M_2(\mathbb C)$ dos matrices no nulas tales que $$M^2=N^2=0_2\text{ and }MN+NM=I_2$$ donde $0_2$ es la matriz cero de $2\times2$ e $I_2$ la matriz identidad de $2\times2$ . Demuestre que existe una matriz invertible $A\in M_2(\mathbb C)$ tal que $$M=A\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}A^{-1}\text{ and }N=A\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}A^{-1}.$$

Halle el valor máximo de $$\int^1_0|f'(x)|^2|f(x)|\frac1{\sqrt x}dx$$ sobre todas las funciones continuamente diferenciables $f:[0,1]\to\mathbb R$ con $f(0)=0$ y $$\int^1_0|f'(x)|^2dx\le1.$$

Sea $A\in M_2(\mathbb Q)$ tal que existe $n\in\mathbb N,n\ne0$ , con $A^n=-I_2$ . Demuestre que o bien $A^2=-I_2$ o bien $A^3=-I_2$ .

Sea $n$ un número natural no nulo y sea $f:\mathbb R\to\mathbb R\setminus\{0\}$ una función tal que $f(2014)=1-f(2013)$ . Sean $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$ números reales distintos dos a dos. Si $$\begin{vmatrix}1+f(x_1)&f(x_2)&f(x_3)&\cdots&f(x_n)\\f(x_1)&1+f(x_2)&f(x_3)&\cdots&f(x_n)\\f(x_1)&f(x_2)&1+f(x_3)&\cdots&f(x_n)\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f(x_1)&f(x_2)&f(x_3)&\cdots&1+f(x_n)\end{vmatrix}=0,$$ demuestre que $f$ no es continua.