Nueve veintisiete cubos unitarios se pintan de naranja en un conjunto de cuatro caras, de modo que dos caras no pintadas comparten una arista. Los $27$ cubos se ordenan aleatoriamente para formar un cubo de $3\times 3 \times 3$. Dado que la probabilidad de que toda el área de la superficie del cubo más grande sea naranja es $\frac{p^a}{q^br^c},$ donde $p$, $q$ y $r$ son primos distintos y $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos, encuentra $a+b+c+p+q+r$.