G6 En un triángulo $ABC$, la excircunferencia en el lado $BC$ toca a $BC$ en el punto $D$ y a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Sea $P$ la proyección de $D$ sobre $EF$. Demuestra que la circunferencia circunscrita $k$ del triángulo $ABC$ pasa por $P$ si y solo si $k$ pasa por el punto medio $M$ del segmento $EF$.

2 Determine todos los enteros $n$ que satisfacen $n \geq 2$ y $\dfrac{\sigma(n)}{p(n)-1} = n$ , donde $\sigma(n)$ denota la suma de todos los divisores positivos de $n$ , y $p(n)$ denota el mayor divisor primo de $n$ .

3 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sean $W, X, Y,$ y $Z$ puntos sobre los lados $AB, BC, CD,$ y $DA$ , respectivamente, tales que los incentros de los triángulos $AWZ, BXW, CYX,$ y $DZY$ forman un paralelogramo. Demuestre que $WXYZ$ es un paralelogramo.

4 Sea $c>0$ un real positivo dado y sea $\mathbb{R}_{>0}$ el conjunto de todos los reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ tales que \[f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx \quad \textrm{for all } x,y \in \mathbb{R}_{>0}.\]

5 Hay $n$ segmentos de recta en el plano, sin que tres se intersequen en un punto, y cada par se interseca una vez en sus respectivos interiores. Tony y sus $2n - 1$ amigos se ubican cada uno en un extremo distinto de un segmento. Tony desea enviar regalos de Navidad a cada uno de sus amigos de la siguiente manera: Primero, elige un extremo de cada segmento como un "sumidero". Luego coloca el regalo en el extremo del segmento en el que se encuentra. El regalo se mueve de la siguiente manera : $\bullet$ Si está sobre un segmento, se mueve hacia el sumidero. $\bullet$ Cuando llega a una intersección de dos segmentos, cambia al otro segmento y comienza a moverse hacia el nuevo sumidero. Si el regalo llega a un extremo, el amigo que está en ese extremo puede recibir su regalo. Demuestre que Tony puede enviar regalos a exactamente $n$ de sus $2n - 1$ amigos. S.Ragnork1729

8.1 En un rectángulo $ABCD$ se trazan dos circunferencias que no se intersecan $\omega_1$ y $\omega_2$ tales que $\omega_1$ es tangente a $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S$ respectivamente, y $\omega_2$ es tangente a $CB$ y $CD$ en $T$ y $Q$ respectivamente. Se sabe que $PQ=11, ST=10, BD=14$ . Determine la distancia entre los centros de las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ . I. Voronovich

8.2 La distancia entre la ciudad y la casa de Borya es de 2 km. Una vez Borya fue de la ciudad a su casa con una velocidad de 4 km/h. Simultáneamente, un perro llamado Sharik comenzó a correr desde la casa en dirección a la ciudad, y cada vez que Sharik se encuentra con Borya o con la casa, comienza a correr de vuelta (así, el perro corre entre Borya y la casa), y cuando el perro corre hacia la casa, su velocidad es de 8 km/h, y cuando corre desde la casa, su velocidad es de 12 km/h. ¿Qué distancia correrá Sharik hasta que Borya llegue a la casa? Y. Barabanau

8.3 En el pizarrón está escrito un entero positivo de tres dígitos. Cada segundo, el número $n$ del pizarrón se reemplaza por $n+\frac{n}{p}$ , donde $p$ es el mayor divisor primo de $n$ . Demuestre que, ya sea después de 999 segundos o de 1000 segundos, el número en el pizarrón será una potencia de dos. A. Voidelevich

G5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $AC$. El punto $C_1$ sobre $AB$ es tal que $CC_1$ es una altura del triángulo $ABC$. Sea $H_1$ el reflejo de $H$ en $AB$. Las proyecciones ortogonales de $C_1$ sobre las rectas $AH_1$, $AC$ y $BC$ son $P$, $Q$ y $R$, respectivamente. Sea $M_1$ el punto tal que el circuncentro del triángulo $PQR$ es el punto medio del segmento $MM_1$. Demuestra que $M_1$ se encuentra sobre el segmento $BH_1$.

G4 Sea $ABC$ un triángulo dado y sea $\ell$ una recta que corta a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Sea $A'$ el punto medio del segmento que une las proyecciones de $A_1$ sobre las rectas $AB$ y $AC$. Construye de manera análoga los puntos $B'$ y $C'$. (a) Muestra que los puntos $A'$, $B'$ y $C'$ están alineados sobre una recta $\ell'$. (b) Muestra que si $\ell$ contiene al circuncentro del triángulo $ABC$, entonces $\ell'$ contiene al centro de su círculo de Euler.