Sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos medios de los arcos $BC$ , $CA$ , $AB$ en la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contiene los puntos $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente. Sea la línea $DE$ que se encuentra con $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$ , y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$ . Sea la línea $FD$ que se encuentra con $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$ , y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$ .\na) Encuentra los ángulos del triángulo $DMN$ ;\nb) Demuestra que si $P$ es el punto de intersección de las líneas $AD$ y $EF$ , entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$ .

Suponga que hay $n$ puntos en un plano, no tres de los cuales son colineales, con la propiedad de que si etiquetamos estos puntos como $A_1,A_2,\ldots,A_n$ de cualquier manera, la línea quebrada $A_1A_2\ldots A_n$ no se interseca a sí misma. Encuentra el valor máximo de $n$.

Sea $n$ un entero positivo. Un número $A$ consiste de $2n$ dígitos, cada uno de los cuales es 4; y un número $B$ consiste de $n$ dígitos, cada uno de los cuales es 8. Demuestra que $A+2B+4$ es un cuadrado perfecto.

(El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente.) Sea $n$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existe un número real positivo $r$ , tal que $$r^a+\sqrt{n} \ \ \text{and} \ \ r^b+\sqrt{n}$$ son ambos números racionales. Sea $n$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existe un número real $r$ , tal que $$r^a+\sqrt{n} \ \ \text{and} \ \ r^b+\sqrt{n}$$ son ambos números racionales.

Sea $n$ un entero positivo. Sean $A,B,$ y $C$ tres subespacios vectoriales de dimensión $n$ de $\mathbb{R}^{2n}$ con la propiedad de que $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \{0\}$. Demuestre que existen bases $\{a_1,a_2, \dots, a_n\}$ de $A$ , $\{b_1,b_2, \dots, b_n\}$ de $B$ , y $\{c_1,c_2, \dots, c_n\}$ de $C$ con la propiedad de que para cada $i \in \{1,2, \dots, n\}$ , los vectores $a_i,b_i,$ y $c_i$ son linealmente dependientes.

Hay $256$ jugadores en un torneo de tenis que están clasificados del $1$ al $256$, siendo $1$ la clasificación más alta y $256$ la clasificación más baja. Cuando dos jugadores juegan un partido en el torneo, el jugador cuya clasificación es más alta gana el partido con una probabilidad de $\frac{3}{5}$. En cada ronda del torneo, el jugador con la clasificación más alta juega contra el jugador con la segunda clasificación más alta, el jugador con la tercera clasificación más alta juega contra el jugador con la cuarta clasificación más alta, y así sucesivamente. Al final de la ronda, los jugadores que ganan pasan a la siguiente ronda y los jugadores que pierden abandonan el torneo. Después de ocho rondas, queda un jugador y se le declara ganador. Determine el valor esperado del rango del ganador.

Encuentre el número real positivo más pequeño $r$ con la siguiente propiedad: Para cada elección de $2023$ vectores unitarios $v_1,v_2, \dots ,v_{2023} \in \mathbb{R}^2$ , se puede encontrar un punto $p$ en el plano tal que para cada subconjunto $S$ de $\{1,2, \dots , 2023\}$ , la suma $$\sum_{i \in S} v_i$$ se encuentra dentro del disco $\{x \in \mathbb{R}^2 : ||x-p|| \leq r\}$ .

Sean $x_0, x_1, x_2 \dots$ una secuencia de números reales positivos tales que para toda $n \geq 0$ , $$x_{n+1} = \dfrac{(n^2+1)x_n^2}{x_n^3+n^2}$$ ¿Para qué valores de $x_0$ está acotada esta secuencia?

Para cada entero positivo $n$ , sea $f(n)$ denote el valor más pequeño posible de $$|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n|$$ donde $A_1, A_2, A_3 \dots A_n$ son conjuntos tales que $A_i \not\subseteq A_j$ y $|A_i| \neq |A_j|$ siempre que $i \neq j$ . Determine $f(n)$ para cada entero positivo $n$.

Sea $n$ un entero positivo y sean $f_1(x), f_2(x) \dots f_n(x)$ funciones afines de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ tales que, entre las gráficas de estas funciones, no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes. Sea $S$ el conjunto de todas las funciones convexas $g(x)$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ tales que para cada $x \in \mathbb{R}$ , existe $i$ tal que $g(x) = f_i(x)$. Determine los valores más grandes y más pequeños posibles de $|S|$ en términos de $n$. (Una función $f(x)$ es afín si es de la forma $f(x) = ax + b$ para algunos $a, b \in \mathbb{R}$. Una función $g(x)$ es convexa si $g(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leq \lambda g(x) + (1-\lambda)g(y)$ para todos $x, y \in \mathbb{R}$ y $0 \leq \lambda \leq 1$ )