Sea $ABCDEFGHI$ un polígono regular de $9$ lados. Los segmentos $AE$ y $DF$ se intersecan en $P$. Demuestre que $PG$ y $AF$ son perpendiculares.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, sean $M$, $N$, $P$ y $Q$ los puntos medios de $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente. Si $MP$ y $NQ$ dividen a $ABCD$ en cuatro cuadriláteros con la misma área, pruebe que $ABCD$ es un paralelogramo.

Muchos puntos distintos están marcados en el plano. Un estudiante dibuja todos los segmentos determinados por esos puntos, y luego dibuja una línea r que no pasa por ninguno de los puntos marcados, pero corta exactamente $60$ segmentos dibujados. ¿Cuántos segmentos no fueron cortados por r? Dar todas las posibilidades.

Construya el punto medio de un segmento usando una regla sin marcas y un triseктор que marca en un segmento los dos puntos que dividen el segmento en tres partes iguales.

Se dan seis puntos de modo que no haya tres en la misma línea y que las longitudes de los segmentos determinados por estos puntos sean todas diferentes. Consideramos todos los triángulos que tienen sus vértices en estos puntos. Demuestre que existe un segmento que es a la vez el lado más corto de uno de esos triángulos y el lado más largo de otro.

Dado un triángulo $ABC$, $\angle B= 2 \angle C$, y $\angle A>90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $AC$ en $C$ interseca a $AB$ en $D$. Muestre que $\angle AMB = \angle DMC$

En un triángulo rectángulo $ABC$ tal que $AB = AC$, $M$ es el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto en la bisectriz perpendicular de $AC$, que se encuentra en el semiplano determinado por $BC$ que no contiene a $A$. Las líneas $CP$ y $AM$ se intersecan en $Q$. Calcule los ángulos que forman las líneas $AP$ y $BQ$.

Sea $ABCD$ un rectángulo y el círculo de centro $D$ y radio $DA$, que corta la extensión del lado $AD$ en el punto $P$. La línea $PC$ corta el círculo en el punto $Q$ y la extensión del lado $AB$ en el punto $R$. Demuestre que $QB = BR$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que el triángulo $ABD$ es equilátero y el triángulo $BCD$ es isósceles, con $\angle C = 90^o$. Si $E$ es el punto medio del lado $AD$, determine la medida del ángulo $\angle CED$.

En el plano tenemos $16$ líneas (no paralelas y no concurrentes), tenemos $120$ punto(s) de intersecciones de estas líneas. Sebastián tiene que pintar estos $120$ puntos de manera que en cada línea todos los puntos pintados tengan colores diferentes, encuentre el mínimo (cantidad) de color(es) que Sebastián necesita para pintar estos puntos. Si tenemos $15$ líneas (en esta situación tenemos $105$ puntos), ¿cuál es el mínimo (cantidad) de color(es)?