3 Se nos da un triángulo acutángulo $ABC$ y un punto arbitrario $X$ en su interior, distinto del centro de la circunferencia circunscrita $k$ del triángulo. Las rectas $AX,BX$ y $CX$ intersecan a $k$ por segunda vez en los puntos $A_1,B_1$ y $C_1$ respectivamente. Sean $A_2,B_2$ y $C_2$ los puntos simétricos de $A_1,B_1$ y $C_1$ con respecto a $BC,AC$ y $AB$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $A_2,B_2$ y $C_2$ pasa por un punto fijo que no depende de la elección de $X$ .

2 Sea $f_1(x)$ un polinomio de grado $2$ con coeficiente principal positivo y $f_{n+1}(x) =f_1(f_n(x))$ para $n\ge 1.$ Demuestre que si la ecuación $f_2(x)=0$ tiene cuatro raíces reales no positivas distintas, entonces para todo $n$ el polinomio $f_n(x)$ tiene $2^n$ raíces reales distintas.

3 El triángulo $ABC$ y una función $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ tienen la siguiente propiedad: para todo segmento $DE$ del interior del triángulo con punto medio $M$ , se cumple la desigualdad $f(d(D))+f(d(E))\le 2f(d(M))$ , donde $d(X)$ es la distancia del punto $X$ al lado más cercano del triángulo ( $X$ está en el interior de $\triangle ABC$ ) . Demuestre que para cada segmento $PQ$ y cada punto interior $N$ se cumple la desigualdad $|QN|f(d(P))+|PN|f(d(Q))\le |PQ|f(d(N))$ .

1 Demuestre si existen o no números naturales $n,k$ con $1\le k\le n-2$ tales que \[\binom{n}{k}^2+\binom{n}{k+1}^2=\binom{n}{k+2}^4 \]

2 Para cada número natural $a$ denotamos por $\tau (a)$ y $\phi (a)$ el número de números naturales que dividen a $a$ y el número de números naturales menores que $a$ que son coprimos con $a$ . Halle todos los números naturales $n$ para los cuales $n$ tiene exactamente dos divisores primos distintos y $n$ satisface $\tau (\phi (n))=\phi (\tau (n))$ .

3 En el interior del 2011-ágono convexo hay $2011$ puntos, tales que no hay tres colineales entre los $4022$ puntos dados (los puntos interiores y los vértices). Los puntos están coloreados con uno de dos colores distintos y una coloración se llama "buena" si algunos de los puntos pueden unirse de modo que se satisfagan las siguientes condiciones: 1) Cada segmento une dos puntos del mismo color. 2) Ninguno de los segmentos se interseca. 3) Para cualesquiera dos puntos del mismo color existe un camino de segmentos que los conecta. Halle el número de coloraciones "buenas".

1 Una tabla $2 \times 2010$ está dividida en celdas unitarias. Iván y Pedro juegan el siguiente juego. Iván comienza y coloca un dominó horizontal $2 \times 1$ que cubre exactamente dos celdas unitarias de la tabla. Luego Pedro coloca un dominó vertical $1 \times 2$ que cubre exactamente dos celdas unitarias de la tabla. Luego Iván coloca un dominó horizontal. Luego Pedro coloca un dominó vertical, y así sucesivamente. La persona que no pueda colocar su dominó pierde el juego. Determine quién tiene estrategia ganadora. Amir

3 Sean $a_0, a_1, \ldots, a_9$ y $b_1 , b_2, \ldots,b_9$ enteros positivos tales que $a_9<b_9$ y $a_k \neq b_k, 1 \leq k \leq 8.$ En un cajero automático hay $n\geq a_9$ levas (moneda nacional de Bulgaria) y para cada $1 \leq i \leq 9$ podemos retirar $a_i$ levas del cajero (si en el banco hay al menos $a_i$ levas). Inmediatamente después de esa acción el banco deposita $b_i$ levas en el cajero o retiramos $a_0$ levas. Si retiramos $a_0$ levas del cajero, el banco no deposita dinero en el cajero. Halle todos los posibles valores enteros positivos de $n$ tales que después de un número finito de retiros de dinero del cajero no quede dinero en él. Amir

1 ¿Existe un número $n=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}$ tal que $\overline{a_1a_2a_3}+4 = \overline{a_4a_5a_6}$ (todas las bases son $10$ ) y $n=a^k$ para algunos enteros positivos $a,k$ con $k \geq 3 \ ?$ Amir

2 Sea $f: \mathbb N \to \mathbb N$ una función tal que $f(1)=1$ y \[f(n)=n - f(f(n-1)), \quad \forall n \geq 2.\] Demuestre que $f(n+f(n))=n $ para cada entero positivo $n.$ Amir