Sea $ABCD$ un rectángulo y $P$ un punto en el lado $AD$ tal que $\angle BPC = 90^o$. La perpendicular desde $A$ sobre $BP$ corta a $BP$ en $M$ y la perpendicular desde $D$ sobre $CP$ corta a $CP$ en $N$. Demuestre que el centro del rectángulo se encuentra en el segmento $MN$.

En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle A = 2\angle C$ y $2\angle B = \angle A + \angle C$. La bisectriz del ángulo $\angle C$ interseca al segmento $AB$ en $E$, sea $F$ el punto medio de $AE$, sea $AD$ la altura del triángulo $ABC$. La bisectriz perpendicular de $DF$ interseca a $AC$ en $M$. Pruebe que $AM = CM$.

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$. Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Si el área del triángulo $ABC$ es $150$ y el área del triángulo $ACD$ es $120$, calcule el área del triángulo $BCO$.

En un triángulo $ABC$ con $AB = AC$, sea $M$ el punto medio de $CB$ y sea $D$ un punto en $BC$ tal que $\angle BAD = \frac{\angle BAC}{6}$. La línea perpendicular a $AD$ por $C$ interseca a $AD$ en $N$ donde $DN = DM$. Encuentre los ángulos del triángulo $BAC$.

El barco enemigo ha aterrizado en un tablero de $9\times 9$ que cubre exactamente $5$ cuadrados del tablero, así: La nave es invisible. Cada misil defensivo cubre exactamente un cuadrado y destruye la nave si golpea uno de los $5$ cuadrados que ocupa. Determine el número mínimo de misiles necesarios para destruir la nave enemiga con certeza.

Tenemos una mesa de billar de $8$ metros de largo y $2$ metros de ancho con una sola bola en el centro. Lanzamos la bola en línea recta y, después de recorrer $29$ metros, se detiene en una esquina de la mesa. ¿Cuántas veces golpeó la bola los bordes de la mesa? Nota: Cuando la bola rebota en el borde de la mesa, los dos ángulos que forman su trayectoria con el borde de la mesa son iguales.

Una hormiga, que está en un borde de un cubo de lado $8$, debe viajar sobre la superficie y regresar al punto de partida. Su camino debe contener puntos interiores de las seis caras del cubo y debe visitar sólo una vez cada cara del cubo. Encuentre la longitud del camino que la hormiga puede llevar a cabo y justifique por qué es el camino más corto.

Bob trazó $2003$ puntos verdes en el plano, de modo que todos los triángulos con tres vértices verdes tienen área menor que $1$. Pruebe que los $2003$ puntos verdes están contenidos en un triángulo $T$ de área menor que $4$.

Sea $ABCD$ un rectángulo de lados $AB = 4$ y $BC = 3$. La perpendicular sobre la diagonal $BD$ trazada desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Llamamos $M$ al punto medio de $BH$ y $N$ al punto medio de $CD$. Calcular la medida del segmento $MN$.

En un triángulo $ABC$, recto en $A$ e isósceles, sea $D$ un punto en el lado $AC$ ( $A \ne D \ne C$ ) y $E$ sea el punto en la extensión de $BA$ tal que el triángulo $ADE$ es isósceles. Sea $P$ el punto medio del segmento $BD$, $R$ el punto medio del segmento $CE$ y $Q$ el punto de intersección de $ED$ y $BC$. Pruebe que el cuadrilátero $ARQP$ es un cuadrado.