1 En el triángulo $ABC,$ $AB=BC,$ y sea $I$ el incentro de $\triangle ABC.$ $M$ es el punto medio del segmento $BI.$ $P$ se encuentra sobre el segmento $AC,$ tal que $AP=3PC.$ $H$ se encuentra sobre la recta $PI,$ tal que $MH\perp PH.$ $Q$ es el punto medio del arco $AB$ de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Demuestre que $BH\perp QH.$ .

2 Sea $n\geq3$ un entero dado, y sean $a_1,a_2,\cdots,a_{2n},b_1,b_2,\cdots,b_{2n}$ $4n$ reales no negativos, tales que $$a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=b_1+b_2+\cdots+b_{2n}>0,$$ y para cualquier $i=1,2,\cdots,2n,$ , $a_ia_{i+2}\geq b_i+b_{i+1},$ donde $a_{2n+1}=a_1,$ , $a_{2n+2}=a_2,$ , $b_{2n+1}=b_1.$ . Determine el mínimo de $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}.$ .

3 Sean $a_1=1,$ $a_2=2,$ $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2},$ $n=3,4,\cdots.$ . Demuestre que para cualquier entero $n\geq5,$ $a_n$ tiene al menos un factor primo $p,$ tal que $p\equiv 1\pmod{4}.$ .

4 Dado un polígono convexo con 20 vértices, hay muchas maneras de triangularlo (como 18 triángulos). Al diagrama de triangulación, es decir, los 20 vértices con 37 aristas (17 aristas de triangulación y las 20 aristas originales), lo llamamos un T-diagrama. Y al subconjunto de este T-diagrama con 10 aristas que cubre los 20 vértices (es decir, dos aristas cualesquiera del subconjunto no cubren el mismo vértice) se le llama un “emparejamiento perfecto” de este T-diagrama. Entre todos los T-diagramas, halle el número máximo de “emparejamientos perfectos” de un T-diagrama.

1 En el triángulo acutángulo $\triangle ABC$ , $M$ es el punto medio del segmento $BC$ . El punto $P$ se encuentra en el interior de $\triangle ABC$ tal que $AP$ biseca a $\angle BAC$ . La recta $MP$ interseca a las circunferencias circunscritas de $\triangle ABP,\triangle ACP$ en $D,E$ respectivamente. Demuestre que si $DE=MP$ , entonces $BC=2BP$ .

2 Demuestre que toda Transformación Lineal Fraccionaria (FLT) puede expresarse como una composición de un número finito de involuciones.

2 Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n$ enteros tales que $1=a_1\le a_2\le \cdots\le a_{2019}=99$ . Halle el mínimo $f_0$ de la expresión $$f=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2019}^2)-(a_1a_3+a_2a_4+\cdots+a_{2017}a_{2019}),$$ y determine el número de sucesiones $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ tales que $f=f_0$ .

3 Sea $m$ un entero con $|m|\ge 2$ . Sea $a_1,a_2,\cdots$ una sucesión de enteros tal que $a_1,a_2$ no son ambos cero, y para cualquier entero positivo $n$ , $a_{n+2}=a_{n+1}-ma_n$ . Demuestre que si los enteros positivos $r>s\ge 2$ satisfacen $a_r=a_s=a_1$ , entonces $r-s\ge |m|$ .

4 Defina la sucesión $\{a_n\}$ : $a_1$ es cualquier entero positivo, y para cualquier entero positivo $n\ge 1$ , $a_{n+1}$ es el menor entero positivo coprimo con $\sum_{i=1}^{n} a_i$ y distinto de $a_1,\ldots, a_n$ . Demuestre que todo entero positivo aparece en la sucesión $\{a_n\}$ .

3 Sean $n,k,m$ enteros positivos, donde $k\ge 2$ y $n\le m < \frac{2k-1}{k}n$ . Sea $A$ un subconjunto de $\{1,2,\ldots ,m\}$ con $n$ elementos. Demuestre que todo entero en el intervalo $\left(0,\frac{n}{k-1}\right)$ puede expresarse como $a-b$ , donde $a,b\in A$ .