Sea $ABC$ un triángulo y $D$ es un punto dentro del triángulo, tal que $\angle DBC=60^{\circ}$ y $\angle DCB=\angle DAB=30^{\circ}$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que $\angle DMN=90^{\circ}$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$). Determine el área del triángulo $ABC$ si $PM = 1$ y $MC = 5$.

Consideramos los n vértices de un polígono regular de n lados. Se tiene un conjunto de triángulos con vértices en estos n puntos con la propiedad que para cada triángulo del conjunto, al menos uno de sus lados no es lado de ningún otro triángulo del conjunto. ¿Cuál es la mayor cantidad de triángulos que puede tener el conjunto?

En los lados $AB, BC$ y $CA$ de un triángulo $ABC$ se encuentran los puntos $P, Q$ y $R$ respectivamente, tales que $BQ = 2QC, CR = 2RA$ y $\angle PRQ = 90^o$. Demuestre que $\angle APR =\angle RPQ$.

Cada punto en un círculo se colorea con uno de $10$ colores. ¿Es cierto que para cualquier coloración hay $4$ puntos del mismo color que son vértices de un cuadrilátero con dos lados paralelos (un trapecio isósceles o un rectángulo)?

En un paralelogramo $ABCD$, sea $M$ el punto en el lado $BC$ tal que $MC = 2BM$ y sea $N$ el punto del lado $CD$ tal que $NC = 2DN$. Si la distancia desde el punto $B$ a la línea $AM$ es $3$, calcule la distancia desde el punto $N$ a la línea $AM$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $\angle ABC = \angle ADC = 90º$ y $\angle BCD$ > $90º$. Sea $P$ un punto dentro de $ABCD$ tal que $BCDP$ es un paralelogramo, la línea $AP$ interseca a $BC$ en $M$. Si $BM = 2, MC = 5, CD = 3$. Encuentre la longitud de $AM$.

Rosa y Sara juegan con un triángulo $ABC$, recto en $B$. Rosa comienza marcando dos puntos interiores de la hipotenusa $AC$, luego Sara marca un punto interior de la hipotenusa $AC$ diferente de los de Rosa. Luego, desde estos tres puntos se dibujan las perpendiculares a los lados $AB$ y $BC$, formando la siguiente figura. Sara gana si el área de la superficie sombreada es igual al área de la superficie no sombreada, en otro caso gana Rosa. Determine cuál de las dos tiene una estrategia ganadora.

En un triángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ puntos de los lados $BC$ y $AC$ respectivamente. Los segmentos $AD$ y $BE$ se intersecan en $O$. Suponga que la línea que conecta los puntos medios del triángulo y es paralela a $AB$, biseca el segmento $DE$. Demuestre que el triángulo $ABO$ y el cuadrilátero $ODCE$ tienen áreas iguales.

Si tiene $65$ puntos en un plano, haremos las líneas que pasan por dos puntos cualesquiera en este plano y obtendremos exactamente $2015$ líneas distintas, pruebe que al menos $4$ puntos son colineales!