1 Dado un triángulo acutángulo cuyo circuncentro es $O$ . Sea $K$ un punto sobre $BC$ , distinto de su punto medio . $D$ está sobre la prolongación del segmento $AK,BD$ y $AC$ ; $CD$ y $AB$ se intersecan en $N,M$ respectivamente. Demuestre que $A,B,D,C$ son concíclicos .

2 Dado un entero fijo $k>0,r=k+0.5$ , defina $f^1(r)=f(r)=r[r],f^l(r)=f(f^{l-1}(r))(l>1)$ donde $[x]$ denota el menor entero no menor que $x$ . Demuestre que existe un entero $m$ tal que $f^m(r)$ es un entero.

3 Sea $n>2$ un entero fijo. Sean $a_i\le 1$ reales positivos ( para todo $1\le i\le n$ ) . Para todo $k=1,2,...,n$ , sea $A_k=\frac{\sum_{i=1}^{k}a_i}{k}$ . Demuestre que $|\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=1}^{n}A_k|<\frac{n-1}{2}$ .

4 El sistema de códigos de una nueva 'MO lock' es un $n$ -ágono regular, en el que cada vértice está etiquetado con un número $0$ o $1$ y coloreado de rojo o azul. Se sabe que para cualesquiera dos vértices adyacentes, o bien sus números o bien sus colores coinciden. Halle el número de todos los códigos posibles (en términos de $n$ ) .

1 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ , donde $\angle A<\angle B$ , y sean $M,N$ los puntos medios de los arcos menores $BC,AC$ de $\omega$ , respectivamente. La recta $PC$ es paralela a $MN$ e interseca a $\omega$ en $P$ (distinto de $C$ ) . Sea $I$ el incentro de $ABC$ y sea $PI$ la recta que interseca a $\omega$ nuevamente en el punto $T$ . 1) Demuestre que $MP\cdot MT=NP\cdot NT$ ; 2) Sea $Q$ un punto arbitrario del arco menor $AB$ y sean $I,J$ los incentros de los triángulos $AQC,BCQ$ . Demuestre que $Q,I,J,T$ son concíclicos .

2 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. El punto $X$ es la intersección de la recta paralela desde $O$ a $AB$ con la recta perpendicular a $AC$ desde $C$. Sea $Y$ el punto donde la bisectriz externa de $\angle BXC$ interseca a $AC$. Sea $K$ la proyección de $X$ sobre $BY$. Demuestra que las rectas $AK$, $XO$, $BC$ tienen un punto en común.

2 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que \[-1<\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^2+1}-\ln n\le\frac{1}{2}\]

3 Sean $k,l$ dos enteros dados. Demuestre que existen infinitos enteros $m\ge k$ tales que $\gcd\left(\binom{m}{k},l\right)=1$ .

4 Sea $P=[a_{ij}]_{3\times 9}$ una matriz $3\times 9$ donde $a_{ij}\ge 0$ para todo $i,j$ . Se dan las siguientes condiciones: cada fila consta de números distintos; $\sum_{i=1}^{3}x_{ij}=1$ para $1\le j\le 6$ ; $x_{17}=x_{28}=x_{39}=0$ ; $x_{ij}>1$ para todo $1\le i\le 3$ y $7\le j\le 9$ tal que $j-i\not= 6$ . Las tres primeras columnas de $P$ satisfacen la siguiente propiedad $(R)$ : para una columna arbitraria $[x_{1k},x_{2k},x_{3k}]^T$ , $1\le k\le 9$ , existe un $i\in\{1,2,3\}$ tal que $x_{ik}\le u_i=\min (x_{i1},x_{i2},x_{i3})$ . Demuestre que: a) los elementos $u_1,u_2,u_3$ provienen de tres columnas distintas; b) si una columna $[x_{1l},x_{2l},x_{3l}]^T$ de $P$ , donde $l\ge 4$ , satisface la condición de que, después de reemplazar la tercera columna de $P$ por ella, las tres primeras columnas de la matriz recién obtenida $P'$ siguen teniendo la propiedad $(R)$ , entonces esta columna existe de manera única.

1 Dado un cuadrilátero convexo con $\angle B+\angle D<180$ . Sea $P$ un punto arbitrario del plano, y defina $f(P)=PA*BC+PD*CA+PC*AB$ . (1) Demuestre que $P,A,B,C$ son concíclicos cuando $f(P)$ alcanza su mínimo. (2) Suponga que $E$ es un punto del arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita $O$ de $ABC$ , tal que $AE=\frac{\sqrt 3}{2}AB,BC=(\sqrt 3-1)EC,\angle ECA=2\angle ECB$ . Sabiendo que $DA,DC$ son tangentes a la circunferencia $O$ y que $AC=\sqrt 2$ , halle el mínimo de $f(P)$ .