Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Determine el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})| \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\] se cumple para todos los números reales $a$, $b$ y $c$.

Sea $P$ un $2006$-gono regular. Una diagonal se llama buena si sus extremos dividen la frontera de $P$ en dos partes, cada una compuesta por un número impar de lados de $P$. Los lados de $P$ también se llaman buenos. Suponga que $P$ ha sido diseccionado en triángulos por $2003$ diagonales, no dos de las cuales tienen un punto en común en el interior de $P$. Encuentre el número máximo de triángulos isósceles que tienen dos lados buenos que podrían aparecer en tal configuración.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Demuestre que $AP \geq AI$, y que la igualdad se cumple si y sólo si $P=I$.

Sea $O$ el circuncentro, $R$ el circunradio, y $k$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$. Sea $k_1$ un círculo tangente a los rayos $AB$ y $AC$, y también tangente internamente a $k$. Sea $k_2$ un círculo tangente a los rayos $AB$ y $AC$, y también tangente externamente a $k$. Sean $A_1$ y $A_2$ denotan los respectivos centros de $k_1$ y $k_2$. Demuestre que: $(OA_1+OA_2)^2-A_1A_2^2 = 4R^2.$

Considere una matriz binaria $M$ (todas las entradas son $0$ o $1$) en $r$ filas y $c$ columnas, donde cada fila y cada columna contienen al menos una entrada igual a $1$. Demuestre que existe una entrada $M(i,j) = 1$, tal que la suma de fila correspondiente $R(i)$ y la suma de columna $C(j)$ satisfacen $r R(i)\ge c C(j)$.

En un $\triangle ABC$ acutángulo, demuestre que\n\begin{align*}\frac{1}{3}\left(\frac{\tan^2A}{\tan B\tan C}+\frac{\tan^2 B}{\tan C\tan A}+\frac{\tan^2 C}{\tan A\tan B}\right) \\ +3\left(\frac{1}{\tan A+\tan B+\tan C}\right)^{\frac{2}{3}}\ge 2.\end{align*}

Para un número real $\alpha>0$, considere la secuencia real infinita definida por $x_1=1$ y\n$\alpha x_n = x_1+x_2+\cdots+x_{n+1} \mbox{\qquad para } n\ge1.$\nDetermine el $\alpha$ más pequeño para el cual todos los términos de esta secuencia son reales positivos.

Consideremos un sistema de infinitas esferas hechas de metal, con centros en puntos $(a, b, c) \in \mathbb Z^3$ . Decimos que el sistema es estable si la temperatura de cada esfera es igual a la temperatura promedio de las seis esferas más cercanas. Asumiendo que todas las esferas en un sistema estable tienen temperaturas entre $0^\circ C$ y $1^\circ C$ , demostrar que todas las esferas tienen la misma temperatura.

Sean $a, b, c$ números no negativos con $a+b+c = 3$ . Demostrar la desigualdad \[\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1} \geq \frac 32.\]