9 Una sucesión de enteros positivos con \(a_1=1\) y \(a_9+a_{10}=646\) se forma de modo que los primeros tres términos están en progresión geométrica, el segundo, tercero y cuarto términos están en progresión aritmética, y, en general, para todo \(n\ge1\), los términos \(a_{2n-1}\), \(a_{2n}\), \(a_{2n+1}\) están en progresión geométrica, y los términos \(a_{2n}\), \(a_{2n+1}\) y \(a_{2n+2}\) están en progresión aritmética. Sea \(a_n\) el mayor término de esta sucesión que es menor que 1000. Encuentra \(n+a_n\).

10 Un círculo de radio 1 se coloca aleatoriamente en un rectángulo de 15 por 36 $ABCD$ de modo que el círculo quede completamente dentro del rectángulo. Dado que la probabilidad de que el círculo no toque la diagonal $AC$ es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m + n$.

Un sólido con forma de cono circular recto tiene 4 pulgadas de altura y su base tiene un radio de 3 pulgadas. Toda la superficie del cono, incluida su base, está pintada. Un plano paralelo a la base del cono divide el cono en dos sólidos: un cono más pequeño con forma de sólido $C$ y un sólido con forma de tronco de cono $F$, de tal manera que la razón entre las áreas de las superficies pintadas de $C$ y $F$ y la razón entre los volúmenes de $C$ y $F$ son ambas iguales a $k$. Dado que $k=m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$.

12 Sea \(ABCD\) un trapecio isósceles, cuyas dimensiones son \(AB = 6\), \(BC=5=DA\), y \(CD=4\). Dibuja círculos de radio 3 centrados en \(A\) y \(B\), y círculos de radio 2 centrados en \(C\) y \(D\). Un círculo contenido dentro del trapecio es tangente a los cuatro círculos. Su radio es \(\frac{-k+m\sqrt{n}}p\), donde \(k\), \(m\), \(n\) y \(p\) son enteros positivos, \(n\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y \(k\) y \(p\) son primos relativos. Encuentra \(k+m+n+p\).

4 4. Se da un triángulo $A B C$ con el ángulo $A$ igual a $60^{\circ}$ . Su circunferencia inscrita es tangente al lado $A B$ en el punto $D$ , mientras que su excircunferencia, tangente al lado $A C$ , es tangente a la prolongación del lado $A B$ en el punto $E$ . Demuestre que la perpendicular al lado $A C$ que pasa por el punto $D$ corta nuevamente a la circunferencia inscrita en un punto equidistante de los puntos $E$ y $C$ . (La excircunferencia es la circunferencia tangente a un lado del triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados.) Azamat Mardanov

13 El polinomio \[P(x)=(1+x+x^2+\cdots+x^{17})^2-x^{17}\] tiene 34 raíces complejas de la forma $z_k=r_k[\cos(2\pi a_k)+i\sin(2\pi a_k)], k=1, 2, 3,\ldots, 34$ , con $0<a_1\le a_2\le a_3\le\cdots\le a_{34}<1$ y $r_k>0$ . Dado que $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=m/n$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$ .

14 Un unicornio está atado con una cuerda plateada de 20 pies a la base de una torre cilíndrica de un mago cuyo radio es de 8 pies. La cuerda está sujeta a la torre a nivel del suelo y al unicornio a una altura de 4 pies. El unicornio ha tensado la cuerda, el extremo de la cuerda está a 4 pies del punto más cercano de la torre, y la longitud de la cuerda que está tocando la torre es $\frac{a-\sqrt{b}}c$ pies, donde $a, b$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ es primo. Encuentra $a+b+c$.

15 Una tira larga y delgada de papel mide 1024 unidades de largo, 1 unidad de ancho, y está dividida en 1024 cuadrados unitarios. El papel se dobla por la mitad repetidamente. Para el primer doblez, el extremo derecho del papel se dobla sobre el izquierdo de modo que coincida y quede encima de él. El resultado es una tira de 512 por 1 de doble grosor. Luego, el extremo derecho de esta tira se dobla sobre el izquierdo de modo que coincida y quede encima de él, resultando en una tira de 256 por 1 de cuádruple grosor. Este proceso se repite 8 veces más. Después del último doblez, la tira se ha convertido en una pila de 1024 cuadrados unitarios. ¿Cuántos de estos cuadrados quedan debajo del cuadrado que originalmente era el cuadrado número 942 contando desde la izquierda?

El producto $N$ de tres enteros positivos es $6$ veces su suma, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Encuentra la suma de todos los valores posibles de $N.$

2 Cien círculos concéntricos con radios \(1, 2, 3, \dots, 100\) se dibujan en un plano. El interior del círculo de radio 1 se colorea de rojo, y cada región delimitada por círculos consecutivos se colorea de rojo o verde, sin que dos regiones adyacentes tengan el mismo color. La razón entre el área total de las regiones verdes y el área del círculo de radio 100 se puede expresar como \(m/n\), donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \(m + n\).