Se da un tetraedro $ABCD$ tal que $AD = BC = a; AC = BD = b; AB\cdot CD = c^2$. Sea $f(P) = AP + BP + CP + DP$, donde $P$ es un punto arbitrario en el espacio. Calcula el valor mínimo de $f(P)$.

Sea $f(n)$ el menor número de puntos distintos en el plano tal que para cada $k = 1, 2, \cdots, n$ existe una línea recta que contiene exactamente $k$ de estos puntos. Encuentra una expresión explícita para $f(n)$. Versión simplificada. Demuestra que $f(n)=\left[\frac{n+1}{2}\right]\left[\frac{n+2}{2}\right]$. Donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$.

En una urna hay una bola marcada con $1$, dos bolas marcadas con $2$, y así sucesivamente, hasta $n$ bolas marcadas con $n$. Se extraen dos bolas al azar sin reemplazo. Encuentra la probabilidad de que las dos bolas tengan asignado el mismo número.

Sean $ABC$ y $DEF$ triángulos acutángulos. Escribe $d = EF, e = FD, f = DE$. Demuestra que existe un punto $P$ en el interior de $ABC$ para el cual el valor de la expresión $X=d \cdot AP +e \cdot BP +f \cdot CP$ alcanza un mínimo.

Encuentra los últimos ocho dígitos del desarrollo binario de $27^{1986}$.

Una línea paralela al lado $BC$ de un triángulo $ABC$ se encuentra con $AB$ en $F$ y $AC$ en $E$ . Demuestra que los círculos sobre $BE$ y $CF$ como diámetros se intersectan en un punto que se encuentra en la altura del triángulo $ABC$ bajada desde $A$ hasta $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $DA$ y $CB$ se encuentran en $F$ y $AB$ y $DC$ se encuentran en $E$ . Las bisectrices de los ángulos $DFC$ y $AED$ son perpendiculares. Demuestra que estas bisectrices de ángulos son paralelas a las bisectrices de los ángulos entre las líneas $AC$ y $BD$.

Sea $k$ uno de los enteros $2, 3, 4$ y sea $n = 2^k -1$ . Demuestra la desigualdad \[1+ b^k + b^{2k} + \cdots+ b^{nk} \geq (1 + b^n)^k\] para todo $b \geq 0$ real.

Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como un lado y está contenido en $P$. Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos dos veces el área de $P$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n > 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considere el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$, donde $P$ ocurre $k$ veces. Pruebe que hay a lo sumo $n$ enteros $t$ tales que $Q(t) = t$.