3 Halle el menor entero positivo $n$ tal que $\cos\frac{\pi}{n}$ no puede escribirse en la forma $p+\sqrt{q}+\sqrt[3]{r}$ con $p,q,r\in\mathbb{Q}$ . O. Mushkarov, N. Nikolov Haga clic para revelar el texto oculto. Nadie en la competencia obtuvo más de 2 puntos

1 Sea $k>1$ un entero positivo dado. Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama bueno si podemos colorear el conjunto de los enteros positivos con $k$ colores de modo que ningún entero de $S$ pueda representarse como suma de dos enteros positivos del mismo color. Halle el mayor $t$ tal que el conjunto $S=\{a+1,a+2,\ldots ,a+t\}$ sea bueno para todos los enteros positivos $a$ . A. Ivanov, E. Kolev

2 Halle el menor número real $m$ tal que con cualesquiera $5$ triángulos equiláteros cuya suma de áreas sea $m$ se pueda cubrir un triángulo equilátero de lado 1. O. Mushkarov, N. Nikolov

3 Sea $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ un polinomio mónico de grado par. Demuestre que si para infinitos enteros $x$ el número $P(x)$ es un cuadrado de un entero positivo, entonces existe un polinomio $Q(x)\in\mathbb{Z}[x]$ tal que $P(x)=Q(x)^2$ .

1 Considere el conjunto $A=\{1,2,3\ldots ,2^n\}, n\ge 2$ . Halle el número de subconjuntos $B$ de $A$ tales que para cualesquiera dos elementos de $A$ cuya suma sea una potencia de $2$ , exactamente uno de ellos esté en $B$ . Aleksandar Ivanov

2 Sea $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ una función que satisface para todo $x>y>0$ \[f(x+y)-f(x-y)=4\sqrt{f(x)f(y)}\] a) Demuestre que $f(2x)=4f(x)$ para todo $x>0$ ; b) Halle todas las funciones de este tipo. Nikolai Nikolov, Oleg Mushkarov

3 Los números naturales se escriben en sucesión, en orden creciente, y con esto obtenemos una sucesión infinita de dígitos. Halle el menor número natural $k$ para el cual, entre los primeros $k$ dígitos de esta sucesión, dos dígitos no nulos cualesquiera hayan sido escritos un número diferente de veces. Aleksandar Ivanov, Emil Kolev

1 Sea $p$ un primo tal que $p^2$ divide a $2^{p-1}-1$ . Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ el número $\left(p-1\right)\left(p!+2^n\right)$ tiene al menos $3$ divisores primos distintos. Aleksandar Ivanov

2 El triángulo $ABC$ es tal que $\angle BAC=30^{\circ},\angle ABC=45^{\circ}$ . Demuestre que si $X$ se encuentra en el rayo $AC$ , $Y$ se encuentra en el rayo $BC$ y $OX=BY$ , donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , entonces $S_{XY}$ pasa por un punto fijo. Emil Kolev

3 Considere un punto $O$ en el plano. Halle todos los conjuntos $S$ de al menos dos puntos del plano tales que si $A\in S$ y $A\neq O$ , entonces la circunferencia con diámetro $OA$ está en $S$ . Nikolai Nikolov, Slavomir Dinev