2 El punto $O$ es el centro del círculo circunscrito alrededor del triángulo acutángulo $ABC$ . Las tangentes a este círculo trazadas por los puntos $A$ y $B$ se intersecan en el punto $D$ . La recta que pasa por el centro $O$ del círculo y por el punto medio del lado $BC$ interseca al lado $AC$ en el punto M. Demuestre que las rectas $BC$ y $DM$ son paralelas.

11.6 Se marca el punto $X$ en el interior del triángulo $ABC$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AXB$ y $AXC$ cortan nuevamente al lado $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. La recta $DX$ corta al lado $AC$ en $K$ , y la recta $EX$ corta al lado $AB$ en $L$ . Demuestre que $LK\parallel BC$ .

11.7 Considere la expresión $M(n, m)=|n\sqrt{n^2+a}-bm|$ , donde $n$ y $m$ son enteros positivos arbitrarios y los números $a$ y $b$ están fijos; además, $a$ es un entero positivo impar y $b$ es un número racional cuyo denominador, en su representación como fracción irreducible, es impar. Demuestre que a) no hay más que un número finito de pares $(n, m)$ para los cuales $M(n, m)=0$ ; b) existe una constante positiva $C$ tal que la desigualdad $M(n, m)\geqslant0$ se cumple para todos los pares $(n, m)$ con $M(n, m)\ne 0$ .

11.8 Se marcan los vértices del $n$ -ágono regular. Dos jugadores juegan el siguiente juego: por turnos, cada uno elige un vértice y lo une mediante un segmento, ya sea con el vértice adyacente o con el centro del $n$ -ágono. Un jugador gana si después de su movimiento es posible llegar desde cualquier vértice a cualquier otro desplazándose a lo largo de los segmentos. Para cada entero $n\geqslant 3$ determine quién tiene una estrategia ganadora.

1 Demuestre que hay a lo sumo un número finito de números primos $p$ tales que la ecuación $$a^3 + b^3 = 2016pab$$ tiene una solución en números naturales $a, b$ que no son múltiplos de $p$ .

2 Toda diagonal que une dos vértices opuestos de un hexágono convexo lo divide en dos cuadriláteros. ¿Cuál es el mayor número de los seis cuadriláteros que pueden ser circunscritos?

3 Una sucesión infinita $(a_n)$ , $n\in N$ , de números positivos se llama lacunar si existe un número $q > 1$ tal que $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge q$ , y se llama rara si existe un número natural $k$ tal que para todo $x$ positivo el intervalo $(x, 2x)$ contiene a lo sumo $k$ términos de esta sucesión. a) ¿Es cierto que toda sucesión lacunar es rara? b) ¿Es cierto que toda sucesión rara creciente es lacunar?

4 En una pizarra están escritos $n$ ( $n \ge 3$ ) enteros. Cada segundo, el conjunto de números escritos se reemplaza por un nuevo conjunto de $n$ números de acuerdo con la siguiente regla. Primero se calcula la media aritmética $s$ de todos los números escritos. Después, algunos (posiblemente todos, o posiblemente ninguno) de los números mayores que $s + 1$ se disminuyen en uno, y algunos (posiblemente todos, posiblemente ninguno) de los números menores que $s-1$ se aumentan en uno. Los números restantes permanecen sin cambios. En este proceso, todos los números se reemplazan simultáneamente, y al menos uno de los números que difiere de $s$ en más de $1$ debe cambiar. Demuestre que después de algún tiempo los números de la pizarra no cambiarán.

5 La recta $\ell$ corta a la rama derecha de la hipérbola $y = 1/x$ , $x > 0$ , en los puntos $A$ y $B$ . Las rectas $\ell_1$ y $\ell_2$ , paralelas a la recta $\ell$ , cortan a la rama izquierda de esta hipérbola ( $x < 0$ ) en los puntos $E, F$ y $C, D$ , respectivamente. El segmento $AD$ corta a la recta $\ell_1$ en el punto $G$ , y el segmento $BC$ corta a la recta $\ell_1$ en el punto $H$ . Demuestre que las longitudes de los segmentos $GE$ y $HF$ son iguales.

6 Dado un polinomio $p(x) = a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+...+a_1x+a_0$ de grado impar, cuyos coeficientes $a_0$ , $a_1$ , $...$ , $a_{2n}$ , $a_{2n+1}$ son todos positivos. Demuestre que sus coeficientes pueden permutarse de modo que el polinomio resultante tenga una sola raíz real.