4 Hay un tablero con tres filas y $2023$ columnas. En la primera fila están escritos los números del $1$ al $2023$, ordenados de menor a mayor. El diablo escribe esos mismos números en las casillas de la segunda fila, pero en el orden que él quiera. Luego, en cada casilla de la tercera fila escribe la diferencia entre los dos números ya escritos en su propia columna (el mayor menos el menor). Por ejemplo, si los dos primeros números de una columna son $21$ y $198$, en la tercera casilla se escribe $198-21 = 177$. Explica por qué, sin importar cómo haya completado el diablo la segunda fila del tablero, nunca va a pasar que al multiplicar esos $2023$ números de la tercera fila el resultado sea impar.

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el cual $BC<AB$ y $BC<CA$. Sea el punto $P$ sobre el segmento $AB$ y el punto $Q$ sobre el segmento $AC$ tales que $P \neq B$, $Q \neq C$ y $BQ = BC = CP$. Sea $T$ el circuncentro del triángulo $APQ$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, y $S$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $CP$. Demuestra que $T$, $H$ y $S$ son colineales.

6 En un triángulo acutángulo ABC, los puntos $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ son los puntos medios de las alturas $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , respectivamente. Calcule la suma de los ángulos $B_2A_1C_2$ , $C_2B_1A_2$ y $A_2C_1B_2$ . D. Tereshin

2 Sea $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \dots\}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$, se cumplan las siguientes dos condiciones: (1) $f(ab) = f(a)f(b)$, y (2) al menos dos de los números $f(a)$, $f(b)$ y $f(a+b)$ son iguales.

3 Una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ se llama *buena* si (1) $a_1$ es un cuadrado perfecto, y (2) para cualquier entero $n \ge 2$, $a_n$ es el entero positivo más pequeño tal que $$na_1 + (n-1)a_2 + \dots + 2a_{n-1} + a_n$$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que para cualquier sucesión buena $a_1, a_2, \dots$, existe un entero positivo $k$ tal que $a_n = a_k$ para todos los enteros $n \ge k$. (republicando porque el otro hilo no se movió)

Dado un entero positivo \( n \ge 2 \), determina el mayor entero positivo \( N \) para el cual existen \( N+1 \) números reales \( a_0, a_1, \dots, a_N \) tales que \((1) \ \) \( a_0+a_1 = -\frac{1}{n}, \) y \((2) \ \) \( (a_k+a_{k-1})(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1} \) para \( 1 \le k \le N-1 \).

5 Para todos los enteros positivos $n$, $k$, sea $f(n, 2k)$ el número de formas en que un tablero de $n \times 2k$ puede cubrirse completamente con $nk$ dominós de tamaño $2 \times 1$. (Por ejemplo, $f(2, 2)=2$ y $f(3, 2)=3$.) Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que para todo entero positivo $k$, el número $f(n, 2k)$ sea impar.

6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sean las bisectrices internas en $A$ y $B$ que se cortan en $X$, las bisectrices internas en $B$ y $C$ que se cortan en $Y$, las bisectrices internas en $C$ y $D$ que se cortan en $Z$, y las bisectrices internas en $D$ y $A$ que se cortan en $W$. Además, sean $AC$ y $BD$ que se cortan en $P$. Supón que los puntos $X$, $Y$, $Z$, $W$, $O$ y $P$ son distintos. Demuestra que $O$, $X$, $Y$, $Z$, $W$ están en la misma circunferencia si y solo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están en la misma circunferencia.

1 Sea $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ una función tal que (i) Para todo $x,y \in \Bbb{R}$ , \[ f(x)+f(y)+1 \geq f(x+y) \geq f(x)+f(y) \] (ii) Para todo $x \in [0,1)$ , $f(0) \geq f(x)$ , (iii) $-f(-1) = f(1) = 1$ . Encuentra todas las funciones $f$ de este tipo.

2 Dado un triángulo no degenerado $ABC$, con circuncentro $O$, ortocentro $H$, y circunradio $R$, demuestra que $|OH| < 3R$.