2 Sea $n \geq 3$ un entero. Juan y María juegan al siguiente juego: Primero Juan etiqueta los lados de un $n$ - gono regular con los números $1, 2,\ldots, n$ en el orden que quiera, usando cada número exactamente una vez. Luego María divide este $n$ - gono en triángulos trazando $n-3$ diagonales que no se intersecan entre sí dentro del $n$ - gono. Todas estas diagonales se etiquetan con el número $1$. En cada uno de los triángulos se escribe el producto de los números en sus lados. Sea $S$ la suma de esos $n - 2$ productos. Determina el valor de $S$ si María quiere que el número $S$ sea lo más pequeño posible y Juan quiere que $S$ sea lo más grande posible, y si ambos toman las mejores decisiones posibles. Amir

3 Sea $n$ un entero positivo $\geq 2$ . Considere una cuadrícula de $n$ por $n$ con todas las entradas $1$ . Defina una operación sobre una casilla como el cambio de signo de todas las casillas adyacentes a ella, pero no el signo de la propia. Halle todos los $n$ tales que sea posible, después de una sucesión finita de operaciones, alcanzar una cuadrícula de $n$ por $n$ con todas las entradas $-1$

2 Sea $M$ un subconjunto de $\{1,2,3... 2011\}$ que satisface la siguiente condición: Para cualesquiera tres elementos de $M$ , existen dos de ellos $a$ y $b$ tales que $a|b$ o $b|a$ . Determine el valor máximo de $|M|$ , donde $|M|$ denota el número de elementos de $M$

2 Muestre que entre cualesquiera $n\geq 3$ vértices de un $(2n-1)$ - gon regular podemos encontrar $3$ de ellos que formen un triángulo isósceles.

8 Halle todos los enteros positivos $a$ tales que para cualquier entero positivo $n\ge 5$ tenemos $2^n-n^2\mid a^n-n^a$ .

1 Halle el menor entero positivo $m$ que satisface la siguiente condición: para todo número primo $p$ tal que $p>3$ , se tiene $105|9^{ p^2}-29^p+m.$ (28 de septiembre de 2012, Hohhot)

1 $O$ es el circuncentro del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ , $H$ es el ortocentro. $AD \bot BC$ , $EF$ es la mediatriz de $AO$ , $D,E$ sobre $BC$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\Delta ADE$ pasa por el punto medio de $OH$ .

3 Sea $A$ un conjunto de $n$ elementos y $A_1, A_2, ... A_k$ subconjuntos de $A$ tales que para cualesquiera $2$ subconjuntos distintos $A_i, A_j$ , o bien son disjuntos o bien uno contiene al otro. Halle el valor máximo de $k$

2 Defina una sucesión $\{a_n\}$ mediante \[a_0=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^2}{2012}, (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots),\] halle un entero $k$ tal que $a_{k}<1<a_{k+1}.$ (29 de septiembre de 2012, Hohhot)

2 En el triángulo $ABC$ : $BC\ge CA \ge AB$ . Desde los vértices $B$ y $C$ , sean $BK$ y $CL$ las bisectrices de los ángulos, respectivamente. Dentro del triángulo $AKL$ se selecciona un punto $X$ desde el cual se trazan las perpendiculares $XY$ y $XZ$ sobre $AB$ y $AC$ , respectivamente. Demuestre que $XY+YZ+ZX < AC$ .