3 Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $BC>CA$ . Sea $F$ el pie de la altura $CH$ del triángulo $ABC$ . La perpendicular a la recta $OF$ en el punto $F$ interseca la recta $AC$ en $P$ . Demuestre que $\measuredangle FHP=\measuredangle BAC$ .

C4 Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ formada por $n^2$ cuadrados unitarios, donde el cuadrado $i^{\text{th}}$ está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consiste en un número de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la fila $i^{\text{th}}$ y la columna $j^{\text{th}}$ está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el menor número de piezas que Paul necesita hacer para lograr esto.

5 Muestre que existe una función biyectiva $ f: \mathbb{N}_{0}\to \mathbb{N}_{0}$ tal que para todo $ m,n\in \mathbb{N}_{0}$ : \[ f(3mn + m + n) = 4f(m)f(n) + f(m) + f(n). \]

1 Una sucesión de enteros está definida por \[{ a_n = 2 a_{n-1} + a_{n-2}}, \quad (n > 1), \quad a_0 = 0, a_1 = 1.\] Demuestre que $2^k$ divide a $a_n$ si y solo si $2^k$ divide a $n$ .

2 Sea $ n$ un entero positivo. Halle el número de coeficientes impares del polinomio \[ u_n(x) = (x^2 + x + 1)^n. \]

4 Un tablero de ajedrez de $ n \times n, n \geq 2$ está numerado con los números $ 1, 2, \ldots, n^2$ (y todo número aparece). Demuestre que existen dos casillas vecinas (con un lado común) tales que sus números difieren en al menos $ n.$

6 En un tetraedro dado $ ABCD$ sean $ K$ y $ L$ los centros de las aristas $ AB$ y $ CD$ respectivamente. Demuestre que todo plano que contenga la recta $ KL$ divide el tetraedro en dos partes de igual volumen.

7 Sea $ a$ la mayor raíz positiva de la ecuación $ x^3 - 3 \cdot x^2 + 1 = 0.$ Muestre que $ \left[a^{1788} \right]$ y $ \left[a^{1988} \right]$ son ambos divisibles por 17. Aquí $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$

8 Sean $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ $ m$ vectores en el plano, cada uno de longitud $ \leq 1,$ con suma cero. Muestre que se pueden ordenar $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ como una sucesión $ v_1, v_2, \ldots, v_m$ tal que cada suma parcial $ v_1, v_1 + v_2, v_1 + v_2 + v_3, \ldots, v_1, v_2, \ldots, v_m$ tiene longitud menor o igual que $ \sqrt {5}.$

11.1 Una sucesión de números enteros positivos $a_1,a_2,\ldots$ satisface, para $i \geq 3$, $$a_{i+1}=a_i+gcd(a_{i-1},a_{i-2})$$ Demuestre que existen dos números enteros positivos $N, M$ tales que $a_{n+1}-a_n=M$ para todo $n \geq N$