11 Halle el mayor entero $n$ tal que el polinomio cúbico \[x^{3} - \displaystyle\frac{n}{6}x^{2} + (n - 11)x - 400\] tiene raíces $\alpha^{2}$ , $\beta^{2}$ , y $\gamma^{2}$ , donde $\alpha$ , $\beta$ , y $\gamma$ son números complejos, y hay exactamente siete valores posibles diferentes para $\alpha + \beta + \gamma$ .

7 $ABCD$ es una hoja rectangular de papel que se ha doblado de modo que la esquina $B$ coincide con el punto $B'$ en el borde $AD$. El pliegue es $EF$, donde $E$ está en $AB$ y $F$ está en $CD$. Se dan las dimensiones $AE=8$, $BE=17$ y $CF=3$. El perímetro del rectángulo $ABCD$ es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $m+n$. [asy] size(200); defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); pair A=origin, B=(25,0), C=(25,70/3), D=(0,70/3), E=(8,0), F=(22,70/3), Bp=reflect(E,F)*B, Cp=reflect(E,F)*C; draw(F--D--A--E); draw(E--B--C--F, linetype("4 4")); filldraw(E--F--Cp--Bp--cycle, white, black); pair point=( 12.5, 35/3 ); label("$A$", A, dir(point--A)); label("$B$", B, dir(point--B)); label("$C$", C, dir(point--C)); label("$D$", D, dir(point--D)); label("$E$", E, dir(point--E)); label("$F$", F, dir(point--F)); label("$B^\prime$", Bp, dir(point--Bp)); label("$C^\prime$", Cp, dir(point--Cp));[/asy]

1 Sea $n$ un entero positivo. Sea $D_n$ el conjunto de todos los divisores de $n$ y sea $f(n)$ el menor natural $m$ tal que los elementos de $D_n$ son distintos dos a dos módulo $m$ . Demuestre que existe un natural $N$ tal que para todo $n \geq N$ , se tiene $f(n) \leq n^{0.01}$ .

12 Considere un tetraedro con dos caras triangulares isósceles de lados $5\sqrt{10}, \,5\sqrt{10},$ y $10$ y dos caras triangulares isósceles de lados $5\sqrt{10},\, 5\sqrt{10},$ y $18.$ Los cuatro vértices del tetraedro se encuentran sobre una esfera con centro $S,$ y las cuatro caras del tetraedro son tangentes a una esfera con centro $R.$ La distancia $RS$ puede escribirse como $\tfrac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Halle ${}m + n.$

13 Llame primos a los conjuntos finitos de enteros $S$ y $T$ si $S$ y $T$ tienen el mismo número de elementos, $S$ y $T$ son disjuntos, y los elementos de $S$ pueden emparejarse con los elementos de $T$ de modo que los elementos de cada par difieran exactamente en $1$ . Por ejemplo, $\{1,2,5\}$ y $\{0,3,4\}$ son primos. Suponga que el conjunto $S$ tiene exactamente $4040$ primos. Halle el menor número de elementos que puede tener el conjunto $S$.

14 Para enteros $a$ y $b,$ sea $a \circ b = a - b$ si $a$ es impar y $b$ es par, y $a+b$ en caso contrario. Halle el número de sucesiones $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ de enteros positivos tales que \[a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 12 \quad \text{and} \quad a_1 \circ a_2 \circ a_3 \circ \cdots \circ a_n = 0\] donde las operaciones se realizan de izquierda a derecha; es decir, $a_1 \circ a_2 \circ a_3$ significa $(a_1 \circ a_2) \circ a_3.$

15 Halle el número de 7-tuplas ordenadas $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7)$ que satisfacen las siguientes propiedades: $a_k \in \{1,2,3\}$ para todo $k.$ $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7$ es múltiplo de $3.$ $a_1a_2 a_4 + a_2a_3a_5 + a_3a_4 a_6 + a_4 a_5 a_7 + a_5 a_6 a_1 + a_6 a_7 a_2 + a_7 a_1 a_3$ es múltiplo de $3.$

5 Para cualquier entero positivo $x$, sea $S(x)$ la suma de los dígitos de $x$, y sea $T(x)$ igual a $|S(x+2)-S(x)|$. Por ejemplo, $T(199)=|S(201)-S(199)|=|3-19|=16$. ¿Cuántos valores de $T(x)$ no superan 1999?

6 Para $n \geq 3$ y números reales dados $a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{n}$ tenemos las siguientes instrucciones: - colocar los números en algún orden en un anillo; - eliminar uno de los números del anillo; - si solo quedan dos números en el anillo: sea $S$ la suma de estos dos números. En caso contrario, si hay más de dos números en el anillo, reemplazar. Después comience de nuevo con el paso (2). Muestre que la mayor suma $S$ que puede resultar de esta manera viene dada por la fórmula \[S_{max}= \sum^n_{k=2} \begin{pmatrix} n -2 \\ [\frac{k}{2}] - 1\end{pmatrix}a_{k}.\]

Halle todas las soluciones enteras de la ecuación $$y^2+2y=x^4+20x^3+104x^2+40x+2003.$$ Nota: ha aparecido muchas veces antes, véase aquí