21 Sean "AB" y $CD$ dos cuerdas perpendiculares de un círculo con centro $O$ y radio $r$, y sean $X,Y,Z,W$ el orden cíclico de las cuatro partes en que el disco queda así dividido. Encuentra el máximo y el mínimo de la cantidad \[ \frac{A(X) + A(Z)}{A(Y) + A(W)}, \] donde $A(U)$ denota el área de $U.$

En un triángulo \( ABC \), elige puntos cualesquiera \( K \in BC, L \in AC, M \in AB, N \in LM, R \in MK \) y \( F \in KL \). Si \( E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6 \) y \( E \) denotan las áreas de los triángulos \( AMR, CKR, BKF, ALF, BNM, CLN \) y \( ABC \) respectivamente, muestra que \[ E \geq 8 \cdot \sqrt[6]{E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6}. \]

23 En un triángulo rectángulo $ ABC$, sea $ AD$ la altura trazada hacia la hipotenusa y sea la recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ la que interseca los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K,L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, muestra que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

24 Encuentra los enteros positivos $x_1, x_2, \ldots, x_{29}$ al menos uno de los cuales es mayor que 1988 de modo que \[ x^2_1 + x^2_2 + \ldots x^2_{29} = 29 \cdot x_1 \cdot x_2 \ldots x_{29}. \]

25 Encuentra el número total de enteros diferentes que toma la función \[ f(x) = \left[x \right] + \left[2 \cdot x \right] + \left[\frac{5 \cdot x}{3} \right] + \left[3 \cdot x \right] + \left[4 \cdot x \right] \] para $0 \leq x \leq 100.$

El círculo $x^2+ y^2 = r^2$ corta a los ejes coordenados en $A = (r,0), B = (-r,0), C = (0,r)$ y $D = (0,-r).$ Sean $P = (u,v)$ y $Q = (-u,v)$ dos puntos sobre la circunferencia. Sea $N$ el punto de intersección de $PQ$ con el eje $y$, y sea $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al eje $x$. Si $r^2$ es impar, $u = p^m > q^n = v,$ donde $p$ y $q$ son números primos y $m$ y $n$ son números naturales, demuestra que \[ |AM| = 1, \quad |BM| = 9, \quad |DN| = 8, \quad |PQ| = 8. \]

Suponiendo que las raíces de $x^3 + p \cdot x^2 + q \cdot x + r = 0$ son reales y positivas, encuentra una relación entre $p,q$ y $r$ que dé una condición necesaria para que las raíces sean exactamente los cosenos de los tres ángulos de un triángulo.

28 Encuentra una condición necesaria y suficiente sobre el número natural $ n $ para que la ecuación \[ x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n = 0 \] tenga una raíz entera.

Expresa el número 1988 como la suma de algunos enteros positivos de manera que el producto de estos enteros positivos sea máximo.

5 Nivel intermedio, problema