Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 10
10 Muestre que para cualesquiera vectores $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Observación. Aquí $\times$ denota el producto vectorial. Amir
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 11
11 Dados números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$ , con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$ , determine si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, si es así, dé estos valores. Amir
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 14
14 Encuentre todas las bases de logaritmos en las cuales un número real positivo puede ser igual a su logaritmo, o demuestre que no existe ninguna. Amir
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 15
15 Determine todos los números reales a para los cuales existen reales positivos $x_{1}, \ldots, x_{5}$ que satisfacen las relaciones $ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a,$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2},$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 17
17 Dentro de un triángulo equilátero $ABC$ se construyen puntos $P, Q$ y $R$ tales que \[\angle QAB = \angle PBA = 15^\circ,\\ \angle RBC = \angle QCB = 20^\circ,\\ \angle PCA = \angle RAC = 25^\circ.\] Determine los ángulos del triángulo $PQR.$ Amir
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 18
18 Sean dados $m$ enteros positivos $a_1, \dots , a_m$ . Demuestre que existen menos de $2^m$ enteros positivos $b_1, \dots , b_n$ tales que todas las sumas de los $b_k$ distintos son distintas y todos los $a_i \ (i \leq m)$ aparecen entre ellos. Amir
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 19
19 Considere las sucesiones $(a_n), (b_n)$ definidas por \[a_1=3, \quad b_1=100 , \quad a_{n+1}=3^{a_n} , \quad b_{n+1}=100^{b_n} \] Encuentre el menor entero $m$ para el cual $b_m > a_{100}.$ Amir
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 9
9 Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A.$ Desde cualquier vértice, excepto $E$ , salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$ se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$ . Demuestre que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1979 Problema 16
16 Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$ . $F$ es una colección de $16$ subconjuntos distintos de $K$ , y se sabe que cualesquiera tres miembros de $F$ tienen al menos un elemento en común. Muestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común. Amir
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Ncmo 2026 Problema 5
5 En $\triangle ABC{}$ con $AB=AC{}$ e incentro $I{}$ , sea $E{}$ el punto medio del lado $AC{}$ , y sea $F{}$ el pie de la altura desde $C{}$ al lado $AB{}$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle AEF{}$ y $\triangle BCI{}$ son tangentes. Alan Cheng
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