Asuma ABCD un cuadrilátero convexo. P y Q están en BC y DC respectivamente, tales que el ángulo BAP= ángulo DAQ . Demuestre que [ADQ]=[ABP] ([ABC] significa su área ) si y solo si la línea que cruza los ortocentros de estos triángulos, es perpendicular a AC.

Suponga la siguiente ecuación: $x^2 + y^2 + z^2 = w^2$. Demuestre que la solución de esta ecuación (si w,z tienen la misma paridad) está en esta forma: x=2d(XZ-YW), y=2d(XW+YZ),z=d(X^2 +Y^2 -Z^2 -W^2 ),w=d(X^2 +Y^2 +Z^2 +W^2 )

Suponga que tenemos $2n$ subconjuntos no vacíos de $ \big\{0,1,2,...,2n-1\big\} $ tal que la suma de los elementos de estos subconjuntos es $ \binom{2n+1}{2}$ . Demuestre que podemos elegir un elemento de cada subconjunto tal que algunos de ellos sumen $ \binom{2n}{2}$

Encuentre todas las funciones inyectivas $f:\mathbb{Z}\ge0 \to \mathbb{Z}\ge0 $ tales que para cada número natural $n$ y números reales $a_0,a_1,...,a_n$ (no todos iguales a $0$ ) , el polinomio $\sum_{i=0}^{n}{a_i x^i}$ tiene una raíz real si y sólo si $\sum_{i=0}^{n}{a_i x^{f(i)}}$ tiene una raíz real.

la línea $l$ pasa por el punto $A$ del triángulo $ABC$ . El punto $X$ está en la línea $l$ . ${\omega}_b$ y ${\omega}_c$ son círculos que pasan por los puntos $X,A$ y son tangentes respectivamente a $AB$ y $AC$ . Las tangentes desde $B,C$ respectivamente a ${\omega}_b$ y ${\omega}_c$ se encuentran con ellos en $Y,Z$ . Demuestre que al cambiar $X$ , el circuncírculo del círculo $XYZ$ pasa por dos puntos fijos.

Encuentre todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que para cada tres números reales positivos $x,y,z$ : $$ x+f(y) , f(f(y)) + z , f(f(z))+f(x) $$ son la longitud de tres lados de un triángulo y para cada número positivo $p$ , existe un triángulo con estos lados y perímetro $p$ .

Suponga $\frac{1}{2} < s < 1$ . Un insecto vuela sobre $[0,1]$ . Si está en el punto $a$ , salta al punto $ a\times s$ o $(a-1) \times s +1$ . Para cada número real $0 \le c \le 1$ , demuestre que el insecto puede saltar de modo que después de algunos saltos , tenga una distancia menor que $\frac {1}{1402}$ desde el punto $c$ .

Suponga que $d(n)$ es el número de divisores positivos del número natural $n$ . Demuestre que existe un número natural $n$ tal que $$ \forall i\in \mathbb{N} , i \le 1402: \frac{d(n)}{d(n \pm i)} >1401 $$

$ABC$ es un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . El punto $P$ está en el triángulo $BHC$ tal que $\angle HPC = 3 \angle HBC $ y $\angle HPB =3 \angle HCB $ . La reflexión del punto $P$ a través de $BH,CH$ es $X,Y$ . Si $S$ es el centro del circuncírculo de $AXY$ , demuestre que: $$\angle BAS = \angle CAP$$

Suponga que $n\ge2$ y $a_1,a_2,...,a_n$ son números naturales que $ (a_1,a_2,...,a_n)=1$ . Encuentre todas las funciones estrictamente crecientes $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R} $ que: $$ \forall x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{Z} : f(\sum_{i=1}^{n} {x_ia_i}) = \sum_{i=1}^{n} {f(x_ia_i})$$