Hay una lámpara en el espacio. (Considere la lámpara un punto) ¿Existe un número finito de esferas iguales en el espacio tal que la luz de la lámpara no pueda ir al infinito? (Si un rayo choca en una esfera, se detiene)

Asuma que X es un conjunto de n números y $0\leq k\leq n$. El número máximo de permutaciones que actúan sobre $X$ tal que cada dos de ellas tienen al menos k componentes en común, es $a_{n,k}$. Y el número máximo de permutaciones tal que cada dos de ellas tienen como máximo k componentes en común, es $b_{n,k}$. a) Demuestre que : $a_{n,k}\cdot b_{n,k-1}\leq n!$ b)Asuma que p es un número primo, determine el valor exacto de $a_{p,2}$.

Sea p un primo y a y n números naturales tales que $(p^a -1 )/ (p-1) = 2 ^n$. Encuentre el número de divisores naturales de na.

¿Existe un conjunto infinito $S$ tal que para cada $a, b \in S$ tenemos $ a^2 + b^2 - ab \mid (ab)^2$?

Un entero positivo $n$ se dice que es una potencia perfecta si $n=a^b$ para algunos enteros $a,b$ con $b>1$ . (a) Encuentre $2004$ potencias perfectas en progresión aritmética. (b) Demuestre que las potencias perfectas no pueden formar una progresión aritmética infinita.

$f_{1},f_{2},\dots,f_{n}$ son polinomios con coeficientes enteros. Demuestre que existe un $g(x)$ reducible con coeficientes enteros tal que $f_{1}+g,f_{2}+g,\dots,f_{n}+g$ son irreducibles.

Sea el incírculo de un triángulo ABC que toca BC,AC,AB en A1,B1,C1 respectivamente. M y N son los puntos medios de AB1 y AC1 respectivamente. MN se encuentra con A1C1 en T . Dibuje dos tangentes TP y TQ a través de T al incírculo. PQ se encuentra con MN en L y B1C1 se encuentra con PQ en K . Asuma que I es el centro del incírculo. Demuestre que IK es paralelo a AL

Sea $p$ un número primo impar. Sea $S$ la suma de todas las raíces primitivas módulo $p$. Demuestre que si $p-1$ no es libre de cuadrados (es decir, si existen enteros $k$ y $m$ con $k>1$ y $p-1=k^2m$ ) , entonces $S \equiv 0 \mod p$ . Si no, ¿a qué es congruente $S$ $\mod p$ ?

XOY es un ángulo en el plano. A,B son puntos variables en OX,OY tales que 1/OA+1/OB=1/K (k es constante). Dibuje dos círculos con diámetro OA y OB. Demuestre que la tangente externa común a estos círculos es tangente al círculo constante (determine el radio y el lugar geométrico de su centro).

Asuma que A es un subconjunto finito de números primos, y a es un entero positivo. Demuestre que solo hay finitamente muchos enteros positivos m tales que: los divisores primos de $a^m-1$ están contenidos en A.