Determine un paralelepípedo rectangular con área mínima, si su volumen es estrictamente mayor que $1000$, y las longitudes de sus lados son números enteros.

Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Encuentre los enteros positivos $x$ \[\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots +\sqrt{x}}}<n \]

Sea $ABCDEF$ un hexágono con $AB||DE,\ BC||EF,\ CD||FA$ y en el cual las diagonales $AD,BE$ y $CF$ son congruentes. Pruebe que el hexágono se puede inscribir en un círculo.

Sea $n$ un entero no negativo. Encuentre todos los enteros no negativos $a,b,c,d$ tales que \[a^2+b^2+c^2+d^2=7\cdot 4^n\]

Determine todos los enteros positivos de la forma $a<b<c<d$ con la propiedad de que cada uno de ellos divide la suma de los otros tres.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en el círculo $O$. Para un punto $E\in O$, se consideran sus proyecciones $K,L,M,N$ sobre las rectas $DA,AB,BC,CD$, respectivamente. Pruebe que si $N$ es el ortocentro del triángulo $KLM$ para algún punto $E$, diferente de $A,B,C,D$, entonces esto se cumple para todo punto $E$ del círculo.

Sea $A$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ con la propiedad de que para cada número real $x,y$, si $x+y\in A$ entonces $xy\in A$. Pruebe que $A=\mathbb{R}$.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Consideramos los puntos $E\in CA,F\in AB,G\in BC$ tales que $DC\perp CA,EF\perp AB$ y $EG\perp BC$. Resuelva en el conjunto de los números racionales la ecuación $AC^x=EF^x+EG^x$.

Tres estudiantes escriben en la pizarra uno al lado del otro tres cuadrados de dos dígitos. Al final, observan que el número de 6 dígitos así obtenido también es un cuadrado. ¡Encuentra este número!

En el interior de un círculo centrado en $O$ considere los $1200$ puntos $A_1,A_2,\ldots ,A_{1200}$, donde para cada $i,j$ con $1\le i\le j\le 1200$, los puntos $O,A_i$ y $A_j$ no son colineales. Pruebe que existen los puntos $M$ y $N$ en el círculo, con $\angle MON=30^{\circ}$, tales que en el interior del ángulo $\angle MON$ se encuentran exactamente $100$ puntos.