El juego de Hive se juega en una cuadrícula hexagonal regular (como se muestra en la figura) por 3 jugadores. La cuadrícula consta de $k$ capas (donde $k$ es un número natural) que rodean un hexágono regular, y cada capa se construye alrededor de la capa anterior. La figura siguiente muestra una cuadrícula con 2 capas. Los jugadores, Ali , Shayan , y Sajad , se turnan para jugar el juego. En cada turno, un jugador coloca una ficha, similar a la que se muestra en la figura, en las celdas vacías de la cuadrícula (también se permite la rotación de la ficha). El primer jugador que no puede colocar una ficha en la cuadrícula pierde el juego. Demuestre que dos jugadores pueden colaborar de tal manera que el tercer jugador siempre pierda.

Arman, comenzando desde un número, calcula la suma de los cubos de los dígitos de ese número, y nuevamente calcula la suma de los cubos de los dígitos del número resultante y continúa el mismo proceso. Arman llama a un número $Good$ si llega a $1$ después de realizar una serie de pasos. Demuestre que existe una progresión aritmética de longitud $1402$ de números buenos.

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $O$ es el centro de su circuncírculo. Suponga que $AD \cap BC = E$ y $AC \cap BD = F$ . El círculo $\omega$ es tangente a la línea $AC$ y $BD$ . $PQ$ es un diámetro de $\omega$ tal que $F$ es el ortocentro de $EPQ$ . Pruebe que la línea $OE$ pasa por el centro de $\omega$

Suponga que $n\ge3$ es un número natural. Encuentre el valor máximo $k$ tal que existan números reales $a_1,a_2,...,a_n \in [0,1)$ (no necesariamente distintos) que para cada número natural como $j \le k$ , la suma de algunos $a_i$ - s es $j$ .

Algunos libros se colocan uno encima del otro. Alguien primero, invierte el libro superior. Luego invierte los $2$ libros superiores. Luego invierte los $3$ libros superiores y continúa así. Después de invertir todos los libros, comienza esta operación desde el primero. Demuestre que después de un número finito de movimientos, los libros se vuelven exactamente como su configuración inicial.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Demuestre que: $a)$ el número de puntos en la circunferencia de $ABCD$ , como $M$ , tales que $\frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MC}$ es $4$ . $b)$ Las diagonales del cuadrilátero que se hace con estos puntos son perpendiculares entre sí.

a.) Sea $m>1$ un entero positivo. Demuestre que existe un número finito de enteros positivos $n$ tales que $m+n|mn+1$ . b.) Para enteros positivos $m,n>2$ , demuestre que existe una secuencia $a_0,a_1,\cdots,a_k$ de enteros positivos mayores que $2$ tales que $a_0=m$ , $a_k=n$ y $a_i+a_{i+1}|a_ia_{i+1}+1$ para $i=0,1,\cdots,k-1$ .

En la noche, las estrellas en el cielo se ven en diferentes intervalos de tiempo. Suponga que para cada $k$ estrellas ( $k>1$ ), al menos $2$ de ellas pueden verse en un momento. Demuestre que podemos fotografiar $k-1$ imágenes del cielo de tal manera que cada una de las estrellas mencionadas se vea en al menos una de las imágenes. (El número de estrellas es finito. Defina los momentos en que la estrella $n^{th}$ se ve como $[a_n,b_n]$ que $a_n<b_n$ . )

Determine todos los polinomios $P(x,y)$ con coeficientes reales tales que \[P(x+y,x-y)=2P(x,y) \qquad \forall x,y\in\mathbb{R}.\]

Sean $C_1,C_2$ dos círculos tales que el centro de $C_1$ está en la circunferencia de $C_2$. Sean $C_1,C_2$ que se intersectan entre sí en los puntos $M,N$. Sean $A,B$ dos puntos en la circunferencia de $C_1$ tales que $AB$ es el diámetro del mismo. Sean las líneas $AM,BN$ que se encuentran con $C_2$ por segunda vez en $A',B'$, respectivamente. Demuestre que $A'B'=r_1$ donde $r_1$ es el radio de $C_1$.