El punto $D$ se elige en la línea de Euler del triángulo $ABC$ y está dentro del triángulo. Los puntos $E,F$ son donde las líneas $BD,CD$ se intersecan con $AC,AB$ respectivamente. El punto $X$ está en la línea $AD$ tal que $\angle EXF =180 - \angle A$, también $A,X$ están en el mismo lado de $EF$. Si $P$ es la segunda intersección de las circunferencias circunscritas de $CXF,BXE$ entonces demuestre que las líneas $XP,EF$ se encuentran en la altitud de $A$.

Llamemos a una terna de números 'Agradable' si uno de ellos es el promedio de los otros dos. Asuma que tenemos $2k+1$ números reales distintos con $k^2$ ternas 'Agradables'. Demuestre que estos números se pueden dividir en dos progresiones aritméticas con razones iguales.

Asuma que $\Omega(n),\omega(n)$ son los factores primos más grande y más pequeño de $n$ respectivamente. Alireza y Amin decidieron jugar un juego. Primero Alireza elige $1400$ polinomios con coeficientes enteros. Ahora Amin elige $700$ de ellos, el conjunto de polinomios de Alireza y Amin son $B,A$ respectivamente. Amin gana si para todo $n$ tenemos:\n\n$$\max_{P \in A}(\Omega(P(n))) \ge \min_{P \in B}(\omega(P(n)))$$\n\n¿Quién tiene la estrategia ganadora?

Existen $4$ enteros positivos $a,b,c,d$ tales que $abcd \neq 1$ y cada par de ellos tiene un MCD de $1$. Dos funciones $f,g : \mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}$ son funciones multiplicativas tales que para cada entero positivo $n$ tenemos:\n\n$$f(an+b)=g(cn+d)$$\n\nDemuestre que al menos una de las siguientes opciones se cumple.\n\n$i)$ Para cada entero positivo $n$ tenemos $f(an+b)=g(cn+d)=0$.\n\n$ii)$ Existe un entero positivo $k$ tal que para todo $n$ donde $(n,k)=1$ tenemos $g(n)=f(n)=1$ (La función $f$ es multiplicativa si para cualquier número natural $a,b$ tenemos $f(ab)=f(a)f(b)$)

En el grafo simple y conexo $G$, sea $x_i$ el número de vértices con grado $i$. Sea $d>3$ el grado más grande en el grafo $G$. Demuestre que si:\n\n$$x_d \ge x_{d-1} + 2x_{d-2}+... +(d-1)x_1$$\n\nEntonces existe un vértice con grado $d$ tal que después de eliminar ese vértice, el grafo $G$ sigue siendo conexo.

En el triángulo escaleno acutángulo $ABC$, la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ se encuentra con $BC$ en el punto $X$. Las líneas $l_b$ y $l_c$ son tangentes a $B$ y $C$ con respecto a $(ABC)$. La línea que pasa por $X$ interseca a $l_b$ y $l_c$ en los puntos $Y$ y $Z$ respectivamente. Suponga que $(AYB)\cap(AZC)=N$ y $l_b\cap l_c=D$. Demuestre que $ND$ es la bisectriz del ángulo $\angle YNZ$.

Llamamos a la secuencia $d_1,....,d_n$ de números naturales, no necesariamente distintos, cubriente si existen progresiones aritméticas como $c_1+kd_1$ , .... , $c_n+kd_n$ tal que cada número natural ha llegado en al menos una de ellas. Llamamos a esta secuencia corta si no podemos eliminar ninguno de los $d_1,....,d_n$ tal que la secuencia resultante siga siendo cubriente. a) Suponga que $d_1,....,d_n$ es una secuencia cubriente corta y suponga que hemos cubierto todos los números naturales con progresiones aritméticas $a_1+kd_1,.....,a_n+kd_n$ , y suponga que $p$ es un número primo que $p$ divide a $d_1,....,d_k$ pero no divide a $d_{k+1},....,d_n$ . Pruebe que los residuos de $a_1,....,a_k$ módulo $p$ contienen todos los números $0,1,.....,p-1$ . b) Escriba todo lo que pueda sobre secuencias cubrientes y secuencias cubrientes cortas en el caso de que cada uno de $d_1,....,d_n$ tenga sólo un divisor primo.

Suponga que $f:P(\mathbb N)\longrightarrow \mathbb N$ y $A$ es un subconjunto de $\mathbb N$ . Llamamos a $f$ $A$ - predictiva si el conjunto $\{x\in \mathbb N|x\notin A, f(A\cup x)\neq x \}$ es finito. Pruebe que existe una función que para cada subconjunto $A$ de números naturales, es $A$ - predictiva.

Llamamos a dos círculos en el espacio luchando si se intersectan o están clipsados. Encuentre una buena condición necesaria y suficiente para cuatro puntos distintos $A,B,A',B'$ tales que cada círculo que pasa por $A,B$ y cada círculo que pasa por $A',B'$ son círculos luchadores.

Suponga que $\alpha$ es un número real y $a_1<a_2<.....$ es una secuencia estrictamente creciente de números naturales tales que para cada número natural $n$ tenemos $a_n\le n^{\alpha}$ . Llamamos al número primo $q$ dorado si existe un número natural $m$ tal que $q|a_m$ . Suponga que $q_1<q_2<q_3<.....$ son todos los números primos dorados de la secuencia $\{a_n\}$ . a) Pruebe que si $\alpha=1.5$ , entonces $q_n\le 1390^n$ . ¿Puede encontrar una mejor cota para $q_n$ ? b) Pruebe que si $\alpha=2.4$ , entonces $q_n\le 1390^{2n}$ . ¿Puede encontrar una mejor cota para $q_n$ ?