Sea $a, b, c, d \in [0, 1]$ . Prueba que $$\frac{a}{1 + b}+\frac{b}{1 + c}+\frac{c}{1 + d}+\frac{d}{1 + a}+ abcd \le 3.$$

Muestra que para cada entero $n \ge 3$ existe enteros positivos $x_1, x_2, . . . , x_n$ , diferentes por pares, de modo que $\{2, n\} \subset \{x_1, x_2, . . . , x_n\}$ y $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+.. +\frac{1}{x_n}= 1.$$

Prueba lo siguiente: a) Si $ABCA'B'C'$ es un prisma recto y $M \in (BC), N \in (CA), P \in (AB)$ tal que $A'M, B'N$ y $C'P$ son perpendiculares entre sí y concurrentes, entonces el prisma $ABCA'B'C'$ es regular. b) Si $ABCA'B'C'$ es un prisma regular y $\frac{AA'}{AB}=\frac{\sqrt6}{4}$ , entonces hay $M \in (BC), N \in (CA), P \in (AB)$ para que las líneas $A'M, B'N$ y $C'P$ sean perpendiculares entre sí y concurrentes.

Encuentra todos los números primos con $n \ge 3$ dígitos, que tienen la propiedad: para cada $k \in \{1, 2, . . . , n -2\}$ , borrando cualquier $k$ de sus dígitos deja un número primo.

En el cuadrado $ABCD$ denota por $M$ el punto medio del lado $[AB]$ , con $P$ la proyección del punto $B$ en la línea $CM$ y con $N$ el punto medio del segmento $[CP]$ , La bisectriz del ángulo $DAN$ interseca la línea $DP$ en el punto $Q$ . Muestra que el cuadrilátero $BMQN$ es un paralelogramo.

Considera el triángulo $ABC$ , con $\angle A= 90^o, \angle B = 30^o$ , y $D$ es el pie de la altura desde $A$ . Sea el punto $E \in (AD)$ tal que $DE = 3AE$ y $F$ el pie de la perpendicular desde $D$ a la línea $BE$ . a) Prueba que $AF \perp FC$ . b) Determina la medida del ángulo $AFB$

Considera el conjunto $$M = \left\{\frac{a}{\overline{ba}}+\frac{b}{\overline{ab}} \, | a,b\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \right\}.$$ a) Muestra que el conjunto $M$ no contiene ningún entero. b) Encuentra el elemento más pequeño y el más grande de $M$

Supongamos que $ f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R} $ sea una función monótona y para cada $ x_1,x_2\in [a,b] $ tal que $ x_1<x_2 $ ,existe $ c\in (a,b) $ tal que $ \int _{x_1}^{x_2}f(x)dx=f(c)(x_1-x_2) $ a) Demostrar que $ f $ sea la función continua en el intervalo $ (a,b) $ b) Supongamos que $ f $ es función integrable en el intervalo $ [a,b] $ pero $ f $ no es una función monótona entonces, ¿es el resultado de la parte a) correcto?

Supongamos que $f_1,f_2,...,f_n: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ son las funciones periódicas y $f=f_1+f_2+...+f_n , f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tiene un límite finito en $+\infty$ . Demostrar que $f$ es la función constante.

Sean $a,b,c\in Z$ y $a$ sea el número par y $b$ sea el número impar. Demostrar que para cada entero $n$ existe un entero positivo $x$ tal que $2^n\mid ax^2+bx+c$