Sea $P$ un polígono regular convexo con $n$ lados, que tiene el centro $O$ y $\angle xOy$ un ángulo de medida $a$ , $a \in (0,k)$ . Sea $S$ el área de la parte común de los interiores del polígono y el ángulo. Encontrar, como función de $n$ , los valores de $a$ tales que $S$ permanece constante cuando $\angle xOy$ está rotando alrededor de $O$ .

Sea $ABCD$ un tetraedro y $M$ un punto variable en la cara $BCD$ . La línea perpendicular a $(BCD)$ en $M$ interseca a los planos $ (ABC)$ , $(ACD)$ , y $(ADB)$ en $M_1$ , $M_2$ , y $M_3$ . Demostrar que la suma $MM_1 + MM_2 + MM_3$ es constante si y sólo si la perpendicular trazada desde $A$ a $(BCD)$ pasa por el centroide del triángulo $BCD$ .

Para $n ,p \in N^*$ , $ 1 \le p \le n$ , definimos $$ R_n^p = \sum_{k=0}^p (p-k)^n(-1)^k C_{n+1}^k $$ Demostrar que: $R_n^{n-p+1} =R_n^p$ .

En el triángulo $ABC$ el incírculo $J$ toca los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ , respectivamente. Los segmentos $(BE)$ y $(CF)$ intersecan a $J$ en $G,H$ . Si $B$ y $C$ son puntos fijos, encontrar los lugares geométricos de los puntos $A, D, E, F, G, H$ si $GH \parallel BC$ y los lugares geométricos de los mismos puntos si $BCHG$ es un cuadrilátero inscriptible.

Demostrar que $ \forall x\in \mathbb{R} $ , $ \cos ^7x+\cos ^7(x+\frac {2\pi}{3})+\cos ^7(x+\frac {4\pi}{3})=\frac {63}{64}\cos 3x $

$ a,b,c,d \in [0,1]$ y $ x,y,z,t \in [0, \frac{1}{2}]$ y $ a+b+c+d=x+y+z+t=1$ . Probar que: \n$ (i)$ $ ax+by+cz+dt$ $ \geq$ $ min( {\frac{a+b}{2} , \frac{b+c}{2} , \frac{c+d}{2} , \frac{d+a}{2} , \frac{a+c}{2} , \frac{b+d}{2} })$\n$ (ii)$ $ ax+by+cz+dt$ $ \geq$ $ 54abcd$

Sean $a, b, c \in R,$ $a \ne 0$ , tales que $a$ y $4a+3b+2c$ tienen el mismo signo. Demostrar que la ecuación $ax^2+bx+c=0$ no puede tener ambas raíces en el intervalo $(1,2)$ .

a) Sea $AB CD$ un tetraedro regular. En los lados $AB$ , $AC$ y $AD$ , se consideran los puntos $M$ , $N$ y $P$ . Determinar el volumen del tetraedro $AMNP$ en términos de $x, y, z$ , donde $x=AM$ , $y=AN$ , $z=AP$ . \nb) Demostrar que para cualquier número real $x, y, z, t, u, v \in (0, 1)$ : $$xyz + uv(1- x) + (1- y)(1- v)t + (1- z)(1- w)(1- t) < 1.$$

Sean $N, P$ los centros de las caras A $BB'A'$ y $ADD'A'$ , respectivamente, de un paralelepípedo recto $ABCDA'B'C'D'$ y $M \in (A'C)$ tal que $A'M= \frac13 A' C$ . Demostrar que $MN \perp AB'$ y $ MP \perp AD' $ si y sólo si el paralelepípedo es un cubo.

Encontrar todos los polinomios $p_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ ( $n\geq 2$ ) con coeficientes reales y no nulos tales que $p_n(x)-p_1(x)p_2(x)...p_{n-1}(x)$ sea un polinomio constante.