Llamamos a la secuencia $d_1,....,d_n$ de números naturales, no necesariamente distintos, cubriente si existen progresiones aritméticas como $c_1+kd_1$ , .... , $c_n+kd_n$ tal que cada número natural ha llegado en al menos una de ellas. Llamamos a esta secuencia corta si no podemos eliminar ninguno de los $d_1,....,d_n$ tal que la secuencia resultante siga siendo cubriente. a) Suponga que $d_1,....,d_n$ es una secuencia cubriente corta y suponga que hemos cubierto todos los números naturales con progresiones aritméticas $a_1+kd_1,.....,a_n+kd_n$ , y suponga que $p$ es un número primo que $p$ divide a $d_1,....,d_k$ pero no divide a $d_{k+1},....,d_n$ . Pruebe que los residuos de $a_1,....,a_k$ módulo $p$ contienen todos los números $0,1,.....,p-1$ . b) Escriba todo lo que pueda sobre secuencias cubrientes y secuencias cubrientes cortas en el caso de que cada uno de $d_1,....,d_n$ tenga sólo un divisor primo.