Sea $AD$ la bisectriz interna del ángulo del triángulo $ABC$ . Los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ACD$ se tocan externamente. Demuestra que $\angle ABC > 120^{\circ}$ . (Recuerda que el incírculo de un triángulo es un círculo dentro del triángulo que es tangente a sus tres lados.)

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB = BC = CD$ y $\angle BDE =\n\n\angle EAC = 30 ^{\circ}$ . Encuentra los valores posibles de $\angle BEC$ .

Se da un trapecio isósceles $ABCD$ $(AB \parallel CD)$. Los puntos $E$ y $F$ están en los lados $BC$ y $AD$, y los puntos $M$ y $N$ están en el segmento $EF$ tal que $DF = BE$ y $FM = NE$. Sean $K$ y $L$ los pies de las líneas perpendiculares desde $M$ y $N$ a $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestra que $EKFL$ es un paralelogramo.

Encuentra los ángulos del pentágono $ABCDE$ en la figura siguiente.\nhttps://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/1/7cd8f03a4d968720d70a2f869509314b5a4528.jpeg

Demuestre que podemos colorear cada subconjunto con $n$ elementos de un conjunto con $3n$ elementos con $8$ colores. De tal manera que no haya $3$ subconjuntos $A,B,C$ con el mismo color donde:\n\n$$|A \cap B| \le 1,|A \cap C| \le 1,|B \cap C| \le 1$$

El punto $X$ se elige dentro del cuadrilátero no trapezoide $ABCD$ tal que $\angle AXD +\angle BXC=180$. Suponga que la bisectriz del ángulo $\angle ABX$ se encuentra con la altitud-$D$ del triángulo $ADX$ en $K$, y la bisectriz del ángulo $\angle DCX$ se encuentra con la altitud-$A$ del triángulo $ADX$ en $L$. Sabemos que $BK \perp CX$ y $CL \perp BX$. Si el circuncentro de $ADX$ está en la línea $KL$, demuestre que $KL \perp AD$.

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todas las ternas $a,b,c$ de enteros positivos se cumple lo siguiente:\n\n$$f(ac)+f(bc)-f(c)f(ab) \ge 1$$

Demuestre que existen dos polinomios relativamente primos $P(x),Q(x)$ que tienen coeficientes enteros y un número real $u>0$ tal que si para enteros positivos $a,b,c,d$ tenemos:\n\n$$|\frac{a}{c}-1|^{2021} \le \frac{u}{|d||c|^{1010}}$$\n\n$$| (\frac{a}{c})^{2020}-\frac{b}{d}| \le \frac{u}{|d||c|^{1010}}$$\n\nEntonces tenemos :\n\n$$bP(\frac{a}{c})=dQ(\frac{a}{c})$$\n\n(Dos polinomios son relativamente primos si no tienen una raíz común)

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos $m,n$ tenemos:\n\n$$f(n)+1400m^2|n^2+f(f(m))$$

Se colocan números naturales en una cuadrícula infinita. De tal manera que el número en cada celda es igual al número de sus celdas adyacentes que tienen el mismo número. Encuentra la mayor cantidad de números distintos que puede tener esta cuadrícula infinita. (Dos celdas de la cuadrícula son adyacentes si tienen un vértice común)